1、6.3对数函数第1课时对数函数的概念、图象与性质学 习 目 标核 心 素 养1理解对数函数的概念2掌握对数函数的图象和性质(重点)3能够运用对数函数的图象和性质解题(重点)4了解同底的对数函数与指数函数互为反函数(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和直观想象的核心素养某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个经过多少次分裂，大约可以得到1万个细胞？10万个细胞？你能求出分裂次数y随着细胞个数x变化的函数关系么？1对数函数的概念一般地，函数ylogax(a0，a1)叫作对数函数，它的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质3反函数(1)对数函数ylogax(a0，a1)和指数函数ya
2、x(a0，a1)互为反函数，它们的图象关于yx对称(2)一般地，如果函数yf(x)存在反函数，那么它的反函数记作yf1(x)(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称(4)原函数yf(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域；原函数yf(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)对数函数的定义域为R()(2)ylog2x2与logx3都不是对数函数()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧()(4)函数ylog2x与yx2互为反函数()答案(1)(2)(3)(4)2对数函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)3设f(x)loga x，则lo
3、ga 42，a24，a2，f(8)log2 833(1)函数f(x)的定义域是(2)若对数函数ylog(12a)x，x(0，)是增函数，则a的取值范围为(3)若g(x)与f(x)2x互为反函数，则g(2)(1)x|x1且x1(2)(，0)(3)1(1)x1且x1(2)由题意得12a1，所以a0(3)f(x)2x的反函数为yg(x)log2 x，g(2)log2 21对数函数的概念【例1】判断下列函数是否是对数函数？并说明理由(1)ylogax2(a0，且a1)；(2)ylog2x1；(3)y2log8x；(4)ylogxa(x0，且x1)思路点拨依据对数函数的定义来判断解(1)中真数不是自变量
4、x，不是对数函数；(2)中对数式后减1，不是对数函数；(3)中log8x前的系数是2，而不是1，不是对数函数；(4)中底数是自变量x，而不是常数a，不是对数函数一个函数是对数函数，必须是形如ylogax(a0且a1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x1对数函数f(x)满足f(2)2，则f2设f(x)loga x(a0且a1)，由题知f(2)loga 22，故a22，a或(舍)flog 2对数函数的定义域问题【例2】求下列函数的定义域：(1)f(x)logx1(x2)；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)(a0且
5、a1)思路点拨根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解解(1)由题知解得x1且x2，f(x)的定义域为x|x1且x2(2)由得0x1且x2故f(x)的定义域为x|x1且x2(4)由题知当a1时，a1由得xaax0f(x)的定义域为x|ax0当0a1时，1aax0f(x)的定义域为x|x0故所求f(x)的定义域是：当0a1时，x(a,0)求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.2(1)函数yln (12x)的定义域为(2)函数y的
6、定义域为(1)(2)(1)由题知解得0x，定义域为x比较对数式的大小探究问题1在同一坐标系中作出ylog2 x，ylogx，ylg x，ylog01 x的图象观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论？提示图象如图作直线y1，与这些对数函数的图象交点的横坐标就是相应对数函数的底结论：对于底数a1的对数函数，在(1，)区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0a1，b，c都大于0且小于1，由于ylogb x的图象在(1，)上比ylogc x的图象靠近x轴，所以bc，因此a，b，c的大小关系为0bc1a3从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系？提示在
7、第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大【例3】(1)比较下列各组数的大小：log3 与log5 ；log1.1 0.7与log1.2 0.7(2)已知log blog alog c，比较2b，2a，2c的大小关系思路点拨(1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性解(1)log3 log5 10，log3 log5 法一：00.71,11log07 1.1log07 1.2，由换底公式可得log11 0.7log12 0.7法二：作出ylog11 x与ylog12 x的图象，如图所示，两图象与x0.7相交可知log
8、1.1 0.7log12 0.7(2)ylog x为减函数，且log blog aac而y2x是增函数，2b2a2c比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较3比较下列各组数的大小(1)log3 3.4与log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(
9、lg m)2.1(m1)解(1)底数31，ylog3 x在(0，)上是增函数，于是log3 34log06 3(3)log4 5log4 41，log6 5log6 5(4)当0lg m1，即1m(lg m)2.1；当lg m1，即m10时，(lg m)1.9(lg m)2.1；当lg m1，即m10时，y(lg m)x在R上是增函数，(lg m)1.90，且a1)这种形式2在对数函数ylogax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析1下列函数是对数函数的是()Ayloga(2x) Bylog2 2xCylog2 x1 Dylg xD根据对数函数的定义，只有D是对数函数2(一题两空)函数yln x的单调增区间是，反函数是(0，)yexyln x的底为e1，故yln x在(0，)上单调递增，其反函数为yex3函数yloga(2x3)1的图象恒过定点P，则点P的坐标是(2,1)函数可化为y1loga(2x3)，可令解得即P(2,1)4求下列函数的定义域：解(1)由题知即x且x所以定义域为(2)由题意得解得所以ylog(2x1)(4x8)的定义域为即0x21，所以2x3，故定义域为x|2x3
