1、15.3 等腰三角形第十五章轴对称15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质，本节我们利用轴对称研究等腰三角形.新课导入15.3 等腰三角形学习目标1.通过对等腰三角形性质和判定过程的探究，体会轴对称在研究几何中的作用.2.理解等边三角形的定义.3.掌握等边三角形的性质和判定定理.4.掌握含30角的直角三角形的性质.15.3 等腰三角形15.3.1 等腰三角形探究如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说
2、一说你的猜想.ABCD重合的线段有：AB和AC，CD和BD；重合的角有：CAD和BAD，BDA和CDA，B和C.猜想：等腰三角形的两个底角相等，等腰三角形底边上的高、顶角的平分线、底边上的中线是同一条线段.操作后发现猜想仍然成立.15.3 等腰三角形我们可以发现等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合(简写成“三线合一”).由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质.15.3 等腰三角形由上面的探究过程获得启发，可以利用三角形的全等证明这些性质.如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=
3、CD.在ABD和ACD中，AB=AC，BD=CD,AD=AD,ABDACD(SSS).B=C.这样就证明了“等边对等角”.15.3 等腰三角形由ABDACD，还可得出BAD=CAD，BDA=CDA，从而ADBC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边.这也就证明了等腰三角形“三线合一”.15.3 等腰三角形从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.15.
4、3 等腰三角形典例精析例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，BC=AD.且BD=BC=AD.求ABC各角的度数.15.3 等腰三角形当堂练习1.如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26.求B和C的度数.解：AB=AD，BAD=26，B=ADB=(18026)2=77.ADC=18077=103.又AD=DC,DAC=C=(180103)2=38.5.15.3 等腰三角形当堂练习解：相等的线段有AB=AC，BD=AD=CD.2.如图，ABC是等腰直角三角形(AB=AC,BAC=90)，AD是底边BC上的高.标出B，C，BAD，DAC的度数，并写出图中所有相等的线段.15.3
5、等腰三角形当堂练习2.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.解：如图：15.3 等腰三角形思考我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.15.3 等腰三角形如图，在ABC中，B=C.作ABC的角平分线AD.在ABD和ACD中，ABDACD(AAS).AB=AC.由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).15.3 等腰三角形典例精析例2 求证：如果三角形一个外角的
6、平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：如图，AD是ABC的外角CAE的平分线，ADBC.求证：AB=AC.分析：要证明AB=AC，可先证明B=C.因为1=2.所以可以设法找出B，C与1，2的关系.15.3 等腰三角形证明：ADBC，1=B，2=C.又AD平分CAE,1=2.B=C.AB=AC.15.3 等腰三角形典例精析 例3 尺规作图：已知等腰三角形底边长为a，底边上高的长为h(图(1)，求作这个等腰三角形.(2)(1)分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位
7、置，即可作出这个等腰三角形.15.3 等腰三角形(2)(1)作法：(1)作线段 AB=a.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DC=h.(4)连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形.15.3 等腰三角形当堂练习1.如图，A=36，DBC=36，C=72.分别计算1，2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.15.3 等腰三角形当堂练习2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?解：是等腰三角形.如图所示.ADBC，3=2.又1=2，1=3.BF=FD.即BFD是等腰三角形.15.3 等腰三角形当堂练习3.如图，AC和
8、BD相交于点O，且ABCD，OA=OB.求证OC=OD.证明：因为OA=OB，所以A=B.因为ABDC，所以C=A，D=B.所以C=D.所以 OC=OD.15.3 等腰三角形15.3.2 等边三角形我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定.探究把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论?一个三角形满足什么条件才是等边三角形?把等腰三角形的性质用于等边三角形仍然成立.每一条边作为底边时，都有“三线合一”.当一个三角形的三个角都相等时，这个三角形是等边三角形.15.3 等腰三角形由等腰三角形的性质
9、和判定方法，可以得到：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.请你自己证明这些结论.15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形典例精析 例4 如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB，AC于点D，E.求证：ADE是等边三角形.15.3 等腰三角形当堂练习1.试画出等边三角形的三条对称轴.你能发现什么?解：如图所示对称轴是顶角平分线或底边上的高或底边上的中线所在的直线，并且三条对称轴交于一点.15.3 等腰三角形当堂练习2.如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，B
10、DE=CDF=60，图中有哪些与BD相等的线段?证明你的结论.解：BE，ED，FD，CD，CF，AE，AF.如图，连接EF.15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质.探究如图，在ABC中，C=90，A=30测量A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论?再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗?证明你的结论.15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形30你还有其他证明方法吗？15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形典例精析 例5 下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，A=30.求立柱BC，DE的长.15.3 等腰三角形当堂练习1.在RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是多少度?边AB与BC之间有什么关系?15.3 等腰三角形当堂练习2.在RtABC中，C=90，AB=2BC，B和A各是多少度?解：如图：15.3 等腰三角形15.3 等腰三角形谢谢观看
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