1、高三二轮复习专题-数学解题方法 巧妙分析题意 建立解题模型- 解题模型思想是一种解题方法，在高三二轮复习中有重要的作用，在解题的过程中，适当地对条件进行变形，发现函数模型，设置适当的函数，构造不等式，达到解题目的。本文主要通过几个例题讲述一种解题模型思想，注意在解题过程中的应用，才能发挥高三二轮复习的功能效益。例题1.设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（ ）ABCD【答案】D【思考】这是一个二元不等式问题，已知不等式，求出正确的不等式问题，分析已知条件模型，发现函数模型，试图构造函数，因为有超越函数，所以应该移项,左边是指数函数型，右边是对数函数模型.【解析】（1）由已知得，两边同时
2、乘以字母a，得，移项得当0b1时，有，所以若例如，取，得所以选项A与C都不正确。（2） 下面证明：即证因为两边同时除以字母a得移项化简得.（1）注意两边有同一个结构，所以设函数求导得当x1时，导数值非负，函数递增，又因为当，且，所以，即由（1）得由函数单调性得所以选项B正确.例题2.已知a1，b1，则下列关系不可能成立的是 【答案】C【思考】从选支中的不等式出发，变形得到同构模型，抽象出函数，应用导数方法，研究函数单调性，实现问题的解答.【解析】选择CD选项作变更， 这两个不等式由相同的结构，可以构造函数模型，于是构造函数对求导，得所以，由x1,得对求导，得当0x1时，此时，g(x)是递减函数
3、.所以这样有f(b)g(a)恒成立，得。即不可能恒成立.类似题目：（1） 已知ba0，且满足alnb=blna，e为自然对数的底数，则 例题3.已知，.求的最小值；求取到最小值时的.【答案】【思考】本文考查三角代换与函数知识，属于中等难度题，构造对勾函数.【解析】设，则，.再令，则，等号成立当且仅当，即.此时，.又，故.拓展练习：例题4.设，为非负实数，且满足方程，则的最大值和最小值（ ）A.互为倒数 B.其和为 C.其乘积为 D.均不存在 【答案】C【思考】构造方程思想。【解析】设，则原方程，即，或。或。（1）当时，当最小时，此时即。（2）当时， ，当最大时，此时即。综上：。例题5.【证明问
4、题】构造不等式，证一个不等式设求证：.证明：先证一个引理：设则.（1）引理的证明：.（2）令则所以（2）成立，引理得证.由基本不等式得，由及引理得即例题6：在一些选择题中，也可以构造不等式模型解题，导数模型求最值已知，且，则的最小值为A B 64 C D 125方法1：权方和不等式：方法2：大柯西不等式：，则方法3：利用导数：，方法4：待定系数法均值不等式：等号成立的条件：。练习（1）：已知，且，则的最大值为（） （2）：已知，且，则的最小值为（ ） 例题7.应用导数模型已知函数有两个零点，则下列判断：；有极小值点，且.则正确判断的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】D【解】对于当时，
5、在上恒成立，在上单调递增,不符合.当时，由，解得，解得在单调递减，在单调递增在有极小值，函数有两个零点，不正确；对于因为，取，不正确；对于 函数的极小值点为要证，只要证 因为函数在单调递减，故只需要证 构造函数 求导得到 所以函数单调递增，恒成立， 即，故得到进而得证：，.故正确.对于因为根据，可得到.不正确.综上正确的只有一个，故选：.思考题已知函数，其中a为非零常数（1）若函数在（0，）上单调递增，求a的取值范围；（2）设，且，证明：当时，函数在（0，）上恰有两个极值点例题8-多选题模型已知函数有两个极值点，则下列说法正确的是（ ）AB曲线在点处的切线可能与直线垂直CD解：对于A选项，函数
6、的的定义域为，函数的导数 ，时，函数单调递减，时，函数单调递增，是的极小值点，故A正确；对于B选项， 函数在上单调递减，又 ， 函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，在上，函数单调递增，上，函数单调递减，在上函数单调递减，函数无最小值，不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，结合A选项可知，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确.故选：ABD.例题9-解答题模型（1）若，判断函数在区间内的单调性；（2）证明：对任意，.（1）在单调递增；（2）证明见解析.解：（1
7、）因为，所以.因为，所以，则.又，知，且时，故，所以在单调递增.（2）由（1）知，当时，即，所以.令，所以，从而，所以，因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.思考题已知函数（1）求函数的极值；（2）当时，恒成立，求正整数的最大值证明：思考题答案：（1）定义域当时，所以函数在上单调递增，无极值当时，得得所以函数在上单调递减，在上单调递增此时函数的极小值无极大值综上，当时，函数无极值;当时，函数的极小值为，无极大值.（2）当时，恒成立，即只需成立即可由（1）可知当时，函数在上单调递减，在上单调递增（i）若，即时，在上单调递增，所以满足题意（ii）若，即，函数在上单调递减，在上单调递增所以令所以在上单调递增又知所以使得，则的解集为综上的取值范围为，所以正整数的最大值为证明：两边取对数得即只需证由（i）知令，则所以所以