1、2角的概念的推广知识点一 角的概念 填一填1角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形答一答1一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故这个说法不正确知识点二 角的分类 填一填2(1)按旋转方向可将角分类(2)按角终边的位置分类 答一答2在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90，这种说法是否正确？提示：不正确在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为90.知识点三 终边相同
2、的角的表示 填一填3一般地，所有与角终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合：S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与周角的整数倍的和答一答3锐角、090的角、小于90的角、第一象限角这四种角有什么差别？提示：受初中所学角的范围的影响，看到这四种角往往就说它们相同其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还仅仅是锐角、直角、钝角，即初中所学的角的范围，没有按任意角来看待其突破方法是把握各种角的取值范围这四种角的范围用集合表示如下：锐角的集合是|090,090的角的集合是|090，小于90的角的集合是|90，第一象限角的集合是|k360k36090，k
3、Z，所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90的角包括锐角、零角、负角1对角的概念的两点说明(1)描述角时，往往用角的第二种定义，即用运动观点来定义角，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：要明确旋转方向；要明确旋转的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置2任意角概念的四个关注点类型一 角的概念的推广 【例1】下列各种说法正确的是()A终边相同的角一定相等B第一象限角就是锐角C锐角是第一象限角D小于90的角都是锐角【思路探究】锐角的集合是|090，第一象限角的集合是|k360k36090，kZ，当k0时，第一象限角
4、的范围就与锐角的范围一致【解析】对于选项A，60与300是终边相同的角，它们并不相等，故说法错误；对于选项B,390是第一象限角，但它不是锐角，故说法错误；对于选项D，30是小于90的角，但它不是锐角，故说法错误【答案】C规律方法 (1)熟记一些角的概念，如第一象限角可表示为|k36090k360，kZ(2)熟悉一些角与角的基本关系，如锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之也不成立经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转过多少度？解：时针走一周用12小时，即12小时转360，那么时针每小时应转30，而5小时25分钟为5小时，由此可求出时针转的度数；而分针每小时转360，因而分针转
5、的度数也可求所以，时针转过的角度为30162.5；分针转过的角度为3601 950.类型二 终边相同的角及象限角 【例2】在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是哪个象限的角(1)1 005；(2)2 58334；(3)1 34215；(4)470.【解】(1)因为1 0052360285，所以285就是与1 005终边相同的角，它是第四象限角，所以1 005是第四象限角(2)因为2 5833473606334，所以6334就是与2 58334终边相同的角，它是第一象限角，所以2 58334是第一象限角(3)因为1 3421543609745，所以9745就是与1 3
6、4215终边相同的角，它是第二象限角，所以1 34215是第二象限角(4)因为4702360250，所以250就是与470终边相同的角，它是第三象限角，所以470是第三象限角规律方法 先将这些角表示成k360(0360)的形式，再根据角来确定它们所属的象限写出与25角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式1 080360的角.解：法1：赋值法与25角终边相同的角的集合为S|k36025，kZ令k3，则有3360251 055，符合条件；令k2，则有236025695，符合条件；令k1，则有136025335，不符合条件；故符合条件的角有1 055，695.法2：解不等式法与25角终边相同
7、的角的集合为S|k36025，kZ解不等式1 080k36025360，得3k1.又kZ，k3或k2.当k3时，1 055；当k2时，695，故符合条件的角有1 055，695.类型三 区域角的表示 【例3】如图所示，写出终边落在阴影区域，(不包括边界)的角的集合【思路探究】由题知，角的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)可以先根据图形写出终边在每个区域内的角的集合，再对写出的两个集合求并集，并化简也可以用k180(kZ)的形式直接写出【解】法1：在0360范围内，终边落在阴影区域，(不包括边界)的角应分别满足45135，225315.所以终边落在阴影区域，中的角的集合分别为A|k36045
8、k360135，kZ，B|k360225k360315，kZ故满足题意的角的集合为AB|k36045k360135，kZ|k360225k360315，kZ|2k180452k180135，kZ|(2k1)18045(2k1)180135，kZ|k18045k180135，kZ法2：终边落在第一、三象限内的边界线上的一个角为45，则终边落在该边界线上的角可写为45k180，kZ；终边落在第二、四象限内的边界线上的一个角为135，则终边落在该边界线上的角可写为135k180，kZ，故所求角的集合为|k18045k180135，kZ规律方法 区域角的表示是在有限制条件的角的基础上进行的，解题的关键
9、是找出终边落在区域边界上的角解题时，需注意以下三点：(1)区域边界线是实线还是虚线；(2)角的旋转方向；(3)一般地，角的终边在两个对顶阴影区域内(不包括边界)时，角可以表示为“k1801k1802，kZ”(12)的形式(1)若角45，150的终边分别在射线OA，OB上，求终边落在如图(1)中阴影范围内(包括边界)的角的集合；(2)已知角的终边在如图(2)的阴影部分(不包括边界)内，求角的集合解析：(1)在0360之间落入阴影部分的角是45150，则终边落在图中阴影范围内(包含边界)的角的集合是|k36045k360150，kZ(2)终边落在l1上的角的集合为|k18030，kZ，终边落在l2
10、上的角的集合为|k180120，kZ，则所求角的集合为|k18030k180120，kZ类型四 由已知角的范围、象限，研究未知角的范围、象限【例4】 若角是第二象限角，试确定角2, 分别是第几象限角.【思路探究】【解】是第二象限角，90k360180k360(kZ)(1)1802k36023602k360(kZ)，2是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角(2)法1：k12030k12060(kZ)，当k3n(nZ)时，n36030n36060(nZ)，此时，是第一象限角；当k3n1(nZ)时，n360150n360180(nZ)，此时，是第二象限角；当k3n2(nZ)时，n3602
11、70n360300(nZ)，此时，是第四象限角综上所述，是第一象限角或第二象限角或第四象限角法2：将平面直角坐标系中的每一个象限进行三等分，从x轴非负半轴起，按逆时针方向把各等分区域依次循环标上号码1,2,3,4，如图所示是第二象限角，图中标有数字2的区域即的终边所在的区域，故是第一象限角或第二象限角或第四象限角规律方法 倍角是第几象限角的判定思路已知角终边所在的象限，确定n终边所在的象限，可依据角的范围求出n的范围，再转化为终边相同的角即可注意不要漏掉n的终边在坐标轴上的情况已知角终边所在的象限，确定(nN)终边所在象限的常用方法有以下两种：方法1分类讨论法利用已知条件写出角的范围(用k表示
12、)，由此确定的范围，然后对k进行分类讨论，从而确定的终边所在的象限方法2等分象限法要确定终边所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把周角等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号是几的区域，就是为第几象限角时的终边所在的区域，这样角的终边所在的象限就可以直观地看出说明：当n4时，角的终边所在的区域分布在四个象限，研究的价值不大，一般只讨论n2，n3的情形已知为第三象限角，则所在的象限是(D)A第一或第二象限 B第二或第三象限C第一或第三象限 D第二或第四象限解析：由k360180k360270，kZ，得36
13、090360135，kZ.当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角易错警示对角的概念理解不正确致误【例5】下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角(3)钝角是第二象限角(4)小于90的角是锐角A1 B2C3 D4【错解】选B或C【正解】第二象限角如120比第一象限角390要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的；小于90的角如60，不是锐角，故(4)错所以正确的只有1个【错解分析】在处三角形的内角误认为只有锐角和钝角，忽略了直角，从而误认为(
14、2)正确；在处依据初中的习惯，认为小于90的角为锐角误认为(4)正确【答案】A【防范措施】明确角的分类的实质按照角的旋转方向分为正角、负角和零角类似于实数正负之分；按照角的终边位置分为象限角和终边在坐标轴上的角，如在本例处易忽略终边落在坐标轴上的角的情况在坐标系中，下列说法中错误的是(C)A锐角是第一象限角B顺时针方向旋转生成的角是负角C始边与终边重合的角是零角D相等的角终边相同解析：360角的终边也与始边重合即始边与终边重合的角的集合应为|360k，kZ故选C一、选择题1下列说法正确的是(D)A终边相同的角都相等B钝角比第三象限角小C第一象限角都是锐角D锐角都是第一象限角解析：任何一个角的终
15、边旋转360的整数倍后，还与它的终边相同，但它们相差360的整数倍象限角只反映角的终边的位置，而不反映角的大小，某象限角有无数多个，其中有正角，也有负角，所以第三象限角不一定比钝角大第一象限角不一定是锐角，但锐角一定是第一象限角2下列各组角中，终边相同的是(C)A495和495B1 350和90C220和140D540和810解析：终边相同的两角差应是360的整数倍3下列命题中正确的是(D)A终边在y轴负半轴上的角是直角B第二象限角一定是钝角C第四象限角一定是负角D若k360，kZ，则与终边相同解析：根据任意角的概念可以判断D正确二、填空题4(1)一个30的角，将其终边按逆时针方向旋转三周，则
16、旋转后的角是1_110.(2)若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是960.解析：(1)终边按逆时针方向旋转三周，转过的角度为36031 080.再加上原来的角度30，所以旋转后的角是1 110.(2)2小时40分2小时，3602960.5终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为|k18045，kZ；终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为|k180135，kZ三、解答题6已知1 640，试把写成k360(kZ,0360)的形式，并求角，使与的终边重合，且满足7200.解：5360160(k5，160)因为与的终边相同，所以可设k360160(kZ)又7200，所以k2或k1.所以560或200.
