1、1均值不等式的应用 A 级 基础巩固 1(多选)下列说法正确的是()Ax1x的最小值为 2 Bx21 的最小值为 1 C3x(2x)的最大值为 2 Dx27x22最小值为 2 72 解析：选 BD 当 x0 时，x1x0，b0，2a1b16，若不等式 2ab9m 恒成立，则 m 的最大值为()A8 B7 C6 D5 解析：选 C 由已知，可得 62a1b 1，2ab62a1b(2ab)652ab 2ba 6(54)54，当且仅当2a1b16，2ab 2ba，即 ab18 时等号成立，29m54，即 m6，故选 C.4小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(ab)，其全程的平均时速为 v，
2、则()Aav ab Bv ab C.abva0，则 v 2ssasb 2abab2ab2b a，故选 A.5已知 m0，n0，mn1 且 xm1m，yn1n，则 xy 的最小值是()A4 B5 C8 D10 解析：选 B 依题意有 xymn1m1n1mnm mnn 3nmmn325，当且仅当 mn12时取等号故选 B.6(多选)已知 a1，b1，且 ab(ab)1，那么下列结论正确的有()Aab 有最大值 2 22 Bab 有最小值 2 22 Cab 有最大值 21 Dab 有最小值 2 23 解析：选 BD 令 abs，abt，由题意可得 s2，t1，ts1，由均值不等式 s2 t，则 t1
3、2 t，由 t1 可得 t22t14t，则 t32 2，ab 21 取等号；s2 s1，由 s2 可得 s24s40，则 s22 2，ab 21 取等号；故选 B、D.7为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度 c(单位：mgL1)随时间 t(单位：h)的变化关系为 c 20tt24，则经过_ h 后池水中该药品的浓度达到最大 解析：c 20tt24 20t4t.3因为 t0，所以 t4t2t4t4当且仅当t4t，即t2时等号成立.所以 c 20t4t204 5，当且仅当 t4t，即 t2 时，c 取得最大值 答案：2 8某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市
4、场分析每辆车营运的总利润y(单位：10 万元)与营运年数 x(xN*)满足关系 yx212x25，则每辆客车营运_年时，年平均利润最大 解析：yx212x25，年平均利润为yxx212x25x x25x 122x25x 122，当且仅当 x25x，即 x5 时，等号成立 答案：5 9已知 x0，y0 且 2x5y20.(1)求 xy 的最大值；(2)求1x1y的最小值 解：(1)2x5y20，x0，y0，2x5y2 10 xy，2 10 xy20，即 xy10，当且仅当 x5，y2 时，等号成立，xy 的最大值为 10.(2)1x1y1x1y 120(2x5y)120255yx 2xy 120
5、75yx 2xy 120(72 10)，当且仅当 2x 5y 时，等号成立 1x1y的最小值为 120(72 10)10某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为 100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在 40100(单位：km/h)之间假设目前油价为 7.2 元/L，4汽车的耗油率为3 x2360 L/h，其中 x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量租车需付给司机每小时的工资为 76.4 元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速 x 是多少？(注：租车总费用耗油费司机的工资)解：设总费用为 y 元，由题意，得 y76.41
6、00 x 7.2100 x 3 x2360 9 800 x2x(40 x100)因为 y9 800 x2x2 19 600280.当且仅当9 800 x2x，即 x70 时取等号 所以这次租车的总费用最少是 280 元，此时的车速为 70 km/h.B 级 综合运用 11(多选)设 a0，b0，则下列不等式中一定成立的是()Aab 1ab2 2 B.2abab ab C.a2b2ab ab D(ab)1a1b 4 解析：选 ACD 因为 a0，b0，所以 ab 1ab2 ab 1ab2 2，当且仅当 ab 且 2 ab 1ab，即 ab 22 时取等号，故 A 一定成立 因为 ab2 ab0，
7、所以 2abab 2ab2 ab ab，当且仅当 ab 时取等号，所以 2abab ab不一定成立故 B 不成立 因为 2abab 2ab2 ab ab，当且仅当 ab 时取等号，所以a2b2ab（ab）22ababab 2abab2 ab ab ab，当且仅当 ab 时取等号，所以a2b2ab ab，所以a2b2ab ab，故 C 一定成立 5因为(ab)1a1b 2baab4，当且仅当 ab 时取等号，故 D 一定成立，故选 A、C、D.12设自变量 x 对应的因变量为 y，在满足对任意的 x，不等式 yM 都成立的所有常数M 中，将 M 的最小值叫做 y 的上确界若 a，b 为正实数，且
8、 ab1，则 12a2b的上确界为()A92 B.92 C.14 D4 解析：选 A 因为 a，b 为正实数，且 ab1，所以 12a2b12a2b(ab)52b2a2ab 522b2a2ab 92，当且仅当 b2a，即 a13，b23时等号成立，因此有 12a2b92，即 12a2b的上确界为92.13一个矩形的周长为 l，面积为 S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的序号是()(1，4)；(6，8)；(7，12)；3，12.A B C D 解析：选 A 设矩形的长和宽分别为 x，y，则 xy12l，Sxy.对于(1，4)，则 xy2，xy1，满足 xyxy22，符合题意；对于(6，8
9、)，则 xy4，xy6，不满足 xyxy22，不符合题意；对于(7，12)，则 xy6，xy7，满足 xyxy22，符合题意；对于3，12，则 xy14，xy3，不满足 xyxy22，不符合题意 综合，可作为数对(S，l)的序号是.14已知不等式 2xm 8x10 对任意的 x1 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：2xm 8x10 在 x1 时恒成立，6m2x 8x12x 4x1 2x1 4x11，又 x1 时，x10，x1 4x112（x1）4x115，当且仅当 x1 4x1，即 x3 时，等号成立，2x1 4x11 2510.m10，实数 m 的取值范围为m|m10 C 级 拓展探究 1
10、5某厂家拟在 2021 年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用 m(m0)(单位：万元)满足 x3 km1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是 1 万件已知 2021 年生产该产品的固定投入为8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将 2021 年该产品的利润 y(单位：万元)表示为年促销费用 m 的函数；(2)该厂家 2021 年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当 m0 时，x1，13k，解得 k2，x3 2m1，又每件产品的销售价格为 1.5816xx元，yx1.5816xx(816xm)48xm 483 2m1 m 16m1（m1）29(m0)(2)m0，16m1(m1)2 168，当且仅当 16m1m1，即 m3 时等号成立，y82921，ymax21.故该厂家 2021 年的促销费用为 3 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 21 万元
