1、第7讲 解三角形的应用举例 1仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_时叫仰角，目标视线在水平视线_时叫俯角(如图)上方下方2方位角和方向角(1)方位角：从指北方向_转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等 顺时针题组一 常识题1(教材改编)海上有 A，B，C 三个小岛，A，B 相距 5 3海里，从 A 岛望 C 和 B 成 45视角，从 B 岛望 C 和 A 成 75视角，则 B，C 两岛间的距离是_海里【解析】易知ACB60，由正弦定理得 ABsin C BCsin A，即5 3sin 60 B
2、Csin 45，解得 BC5 2.【答案】5 22(教材改编)已知ABC 中，AB 3，AC 2，A60，则ABC 的面积为_【解析】由面积公式得 SABC12ABACsin A34 2.【答案】34 23.(教材改编)如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB20 m，则山高CD_m(塔底大小忽略不计)【解析】如图，设 CDx m，则 AE(x20)m，tan 60CDBD，所以 BDCDtan 60 x3 33 x(m)在AEC 中，有 x20 33 x，解得 x10(3 3)m.【答案】10(3 3)题组二 常错题 索引：仰角、
3、俯角概念不清；方向角概念不清；方位角概念不清；不能将空间问题演变为解三角形问题 4如图所示，在某次测量中，在A处测得同一铅垂平面的B点的仰角是60，C点的俯角是70，则BAC_【解析】BAC6070130.【答案】130 5点A在点B的南偏西20方向上，若以点B为基点，则点A的方位角是_【解析】根据方位角概念可得点A的方位角为200.【答案】200 6为了测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶上测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，那么塔AB的高度是_【解析】如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形而 CB20 m，BM20 m.又在 RtAMD 中，DM20 m，
4、ADM30，AMDMtan 302033(m)，ABAMMB203320201 33 m.【答案】201 33 m考点一 距离问题【例1】如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B点出发到达C点)【解析】在ABD 中，由题意知，ADBBAD30，所以 ABBD1，因为ABD120，由正弦定理得ABsinADBADsinABD，解得 A
5、D 3，在ACD 中，由 AC2AD2CD22ADCDcos 150，得 93CD22 3 32 CD，即 CD23CD60，解得 CD 3332，BCBDCD 3312，2 个小时小王和小李可徒步攀登 125022500 米，即 2.5千米，而 3312 3612522.5，所以两位登山爱好者可以在 2 个小时内徒步登上山峰【反思归纳】跟踪训练1 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC 7
6、5 ，BCA 45 ，则 A，B 两 点 间 的 距 离 为_m.【解析】ABC180754560，所以由正弦定理得，ABsin C ACsin B，ABACsin Csin B60sin 45sin 6020 6(m)，即 A，B 两点间的距离为 20 6 m.【答案】20 6考点二 高度问题【例2】(2019济南模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.【解析】由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又 AB6
7、00 m，故由正弦定理得600sin 45BCsin 30，解得 BC300 2 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 33 100 6(m)【答案】100 6【反思归纳】跟踪训练2 如图，从某电视塔CO的正东方向的A处，测得塔顶的仰角为60，在电视塔的南偏西60的B处测得塔顶的仰角为45，AB间的距离为35米，则这个电视塔的高度为_米【解析】如图，可知CAO60，AOB150，OBC45，AB35 米 设 OCx 米，则 OA 33 x 米，OBx 米 在ABO 中，由余弦定理，得 AB2OA2OB22OAOBcos AOB，即 352x23x22 33 x2cos 150
8、，整理得 x5 21，所以此电视塔的高度是 5 21 米【答案】5 21考点三 角度问题【例3】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45 方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10 x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120，解得 x2.故 AC28，B
9、C20.根据正弦定理，得 BCsin ACsin 120，解得 sin 20sin 120285 314.所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为5 314.【反思归纳】跟踪训练3 如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值【解析】在ABC 中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos 1202800BC20 7.由正弦定理，得ABsinACBBCsinBACsinACBABBCsinBAC 217.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB2 77.由 ACB30，得 cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30 2114.课时作业