1、 类型1导数的几何意义及其应用阐述：从近几年高考的考查情况来看，以导数计算为考查指向的考题更多的是以切线的形式来考查的，强调导数几何意义的同时还考查了导数的运算及方程、不等式等特别是全国卷，几乎每年都考查函数图像的切线问题，在解答题中强调导数运算下的方程思想，对逻辑推理及数学运算等核心素养的要求较高利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线
2、过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由求出x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程【例1】(1)曲线yxex1在点(1，1)处切线的斜率等于()A2eBeC2D1(2)已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()ABCD(1)C(2)B(1)yex1xex1(x1)ex1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为k2(2)从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越
3、大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误；B项正确跟进训练1已知曲线yx3(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程解(1)P(2，4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2，4)处的切线的斜率k4曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40(2)设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率kx切线方程为yx(xx0)，即yxxx点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方
4、程为4xy40或xy20(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率kx4，x02切点为(2，4)或斜率为4的曲线的切线方程为y44(x2)和y4(x2)，即4xy40和12x3y200 类型2利用导数判断函数的单调性阐述：从高考的考查情况来看，利用导数研究函数的单调性是高考命题的热点，它能充分考查数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想及转化与化归思想，因此函数的单调性是命题专家最为青睐的内容之一，也是导数最重要的应用之一对函数单调性的探讨，常常涉及研究一元二次不等式，特别是含参一元二次不等式总的来说，该部分内容对数学运算、直观想象、逻辑推理等素养要求较高【例2】若函数f(x)在定义域D内某
5、个区间I上单调递增，且F(x)在I上单调递减，则称函数f(x)是I上的“单反减函数”已知m(x)ln x，g(x)2xaln x(aR)(1)判断函数m(x)在(0，1)上是否是“单反减函数”；(2)若函数g(x)是1)上的“单反减函数”，求实数a的取值范围解(1)函数m(x)ln x在(0，1)上单调递增F(x)，F(x)，当x(0，1)时，F(x)0，F(x)在(0，1)上单调递增，函数m(x)在(0，1)上不是“单反减函数”(2)g(x)2xaln x，g(x)函数g(x)是1，)上的“单反减函数”，g(x)在1，)上单调递增，g(x)0在1，)上恒成立，令h(x)2x2ax2，则h(x
6、)0在1，)上恒成立，1且h(1)0，解得a0令G(x)，则G(x)2在1，)上单调递减又G(x)，G(x)0在1，)上恒成立，即0在x1，)上恒成立，即axaxln x40在x1，)上恒成立令P(x)axaxln x4，则P(x)aln x，解得0a4综上所述，实数a的取值范围为0，4跟进训练2设函数f(x)xeaxbx，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(e1)x4(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间解(1)因为f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb依题设，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)与1
7、xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1所以，当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，) 类型3利用导数研究函数的极值阐述：极值决定了函数的形态，因此对于极值的研究往往着眼于方程(零点)问题；最值也影响函数的形态，但更多聚焦的是边界问题，因而更多与不等式恒成立有关对极值、最值问题的研究是高考考查的热点，也是难点，涉及函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，通过对函数极值与最值的研究，充分考查逻辑推理、数学运算等核心素养【例3】
8、已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)关于x的方程f(x)c在区间1，3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3又函数过(1，0)点，即2b0，b2所以a3，b2，f(x)x33x22(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x令f(x)0，得x0或x2当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)的最大值为
9、f(0)2，f(x)的最小值为f(t)t33t22当2t3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，2)2(2，t)tf(x)00f(x)2极小值2t33t22f(x)的最小值为f(2)2，f(x)的最大值为f(0)与f(t)中较大的一个f(t)f(0)t33t2t2(t3)0所以f(x)的最大值为f(0)2综上可知，当t(0，2时，f(x)的最大值为2，最小值为t33t22；当t(2，3)时，f(x)的最大值为2，最小值为2(3)令g(x)f(x)cx33x22c，g(x)3x26x3x(x2)在x1，2)上，g(x)0要使g(x)0在1，3上恰有两个相异的实根，则解得2
10、0时，h(x)0；当x0时，h(x)0当a0时，g(x)(xa)(xsin x)当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a；当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a当a0时，g(x)x(xsin x)当x(，)时，g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当a0时，g(x)(xa)(xsin x)当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增所以当x0时，g(x)取到极
11、大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a综上所述：当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a 类型4利用导数解决实际问题阐述：导数在实际生活中的应用主要考查数学建模的核心素养，近几年高考对导数在实际问题中的应用考查较少，在利用导数解决实际问题时需注意以下几点：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去例如，长度、宽度应大于零，销售价格应为正数(2)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量
12、关系用函数关系表示，还应确定函数的定义域(3)得出函数的最大值或最小值之后，一定要将数学问题还原成实际问题【例4】已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时(80)，则y1kv2，当v12时，y1720，720k122，解得k5y15v2设全程燃料费为y元，由题意，得yy1，y令y0，解得v0(舍去)或v16当v016时，v16(千米/时)时全程燃料费最省；当v016，v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数当vv0时，ymin综上可知，若v016，则当v16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v025时，f(x
13、)在(2，25)上是增函数，在(25，t上是减函数，当x25时，y取得最大值当225，则当x25时，y取得最大值；若2t25，则当xt时，y取得最大值1(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图像在点(1，f(1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3Dy2x1B法一：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，又f(1)121，所求的切线方程为y12(x1)，即y2x1故选B法二：f(x)x42x3，f(x)4x36x2，f(1)2，切线的斜率为2，排除C，D又f(1)121，切线过点(1，1)，排除A故选B2(2020全国卷)设函数f(x)，若f(1)，则a_1由于f
14、(x)，故f(1)，解得a13(2020北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，用的大小评价在a，b这段时间内企业污水治理能力的强弱已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示给出下列四个结论：在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_由题图可知甲企业的污水排放量在t1
15、时刻高于乙企业，而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同，故在t1，t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故正确；由题图知在t2时刻，甲企业对应的关系图像斜率的绝对值大于乙企业的，故正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，正确；甲企业在0，t1，t1，t2，t2，t3这三段时间中，在0，t1的污水治理能力明显低于t1，t2时的，故错误4(2020北京高考)已知函数f(x)12x2(1)求曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程；(2)设曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值解(1)函数f(x)1
16、2x2的定义域为R，f(x)2x，令f(x)2x2，得x1，f(1)2，又f(1)11，曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程为y112(x1)，即2xy130(2)由(1)知f(x)2x，则f(t)2t，又f(t)12t2，所以曲线yf(x)在点(t，f(t)处的切线方程为y(12t2)2t(xt)，即y2txt212若t0，则围不成三角形，故t0令x0，得yt212，记A(0，t212)，O为坐标原点，则|OA|t212，令y0，得x，记B，则|OB|，S(t)|OA|OB|，S(t)为偶函数，仅考虑t0即可当t0时，S(t)，则S(t)(t24)(t212)，令S(t)0，得t2，当t变化
17、时，S(t)与S(t)的变化情况如表：t(0，2)2(2，)S(t)0S(t)极小值S(t)minS(2)325(2020全国卷)已知函数f(x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)exx2，则f(x)ex1当x0时，f(x)0时，f(x)0所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)exa当a0时，f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增，故f(x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f(x)0可得xln a当x(，ln a)时，f(x)0所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a)()若0，则f(ln a)0，所以f(x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln(2a)时，f(x)eea(x2)ea(x2)2a0故f(x)在(ln a，)存在唯一零点从而f(x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是
