1、8.6.3平面与平面垂直学 习 目 标核 心 素 养1理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理和性质定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化(重点)1. 通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道
2、平面成一定的角度问题：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？1二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面(3)画法：(4)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.(5)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角的取值范围是0180.思考1：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与
3、二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：(3)记作：.(4)判定定理：文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l，l思考2：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面3平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线思考3：如果，则内的直线必垂直于内的无数条直线吗？提示正
4、确若设l，a，b，bl，则ab，故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关()(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的()(3)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.()(4)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面()(5)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面()答案(1)(2)(3)(4)(5)2如图所示的二面角可记为()AlBMlN ClMNDlB根据二面角的记法规则可知B正确3已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个B
5、有两个C有无数个D不存在C经过l的任一平面都和垂直4.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于_90PA平面ABC，PAAB，PAAC，BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.所以所求二面角的大小为90. 二面角的计算问题【例1】 如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AMCD，BMCD由二面角的定义可知AMB为二面角ACDB的平面角设点H是BCD的重心，则AH平面BCD，且点H在BM上在RtAMH中，AM2，HM2，则cosAMB，即二面角的余弦值为.1求二面角大小的步骤(1
6、)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小2确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角1如图，AC平面BCD，BDCD, ACAD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小解因为AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以BDAC又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面 ACD因为AD平面 ACD，所以ADBD，所以ADC即为平面 ABD 与平面 B
7、CD 所成二面角的平面角在RtACD中，ACAD，所以ADC30.平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC求证：平面ABC平面SBC证明(1)法一：(利用定义证明)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS9
8、0，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC法二：(利用判定定理)因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为等腰直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.2如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC平
9、面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD证明连接AC，设ACBDO，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，所以EOPC因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD又因为EO平面BDE，所以平面BDE平面ABCD面面垂直性质定理的应用【例3】如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC 求证：BCAB证明如图，在平面PAB内，作ADPB于点D平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PAB，AD平面PBC又BC平面PBC，ADBC又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB又AB平面PAB
10、，BCAB1证明或判定线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若ab，a，则b(a、b为直线，为平面)；(4)若a，则a(a为直线，为平面)；2两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线3如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB底面ABCD，又VB平面VAD求证：平面VBC平面VAC证明平面VAB平面ABCD，且BCAB，平面VAB平面ABCDAB，BC平面ABCDBC平面VAB，又VA平面VAB，BCVA，又VB平面VAD，VBVA，又VBBCB，VA平面VBC，VA平面VAC，平面VBC平面
11、VAC线线、线面、面面垂直的综合应用探究问题试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系提示垂直问题转化关系如下所示：【例4】如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA思路探究(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DMAE，即证DM为AE的中垂线即可(2)(3)只需证明DM平面ECA即可证明(1)设BDa，如图，作DFBC交CE于F，则CFDBa.因为CE平面ABC，所以BCCF，DFEC，所以DEa.又因为DB平面ABC，所以DAa，所以DEDA(2)取CA的
12、中点N，连接MN，BN，则MNCEDB所以四边形MNBD为平行四边形，所以MDBN.又因为EC平面ABC，所以ECBN，ECMD又DEDA，M为EA的中点，所以DMAE.所以DM平面AEC，所以平面BDM平面ECA(3)由(2)知DM平面AEC，而DM平面DEA，所以平面DEA平面ECA本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小解如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BDa，由例题知，CEACBCAB2a，在CEN中，由，知B为CN中点，CBBN2a.ABN中，ABN120，BANBNA30，CAN90，即NACA又EC平面ABC，ECNA，又CACEC，NA平面ACE，N
13、AAE，NAAC，且AN为平面ADE与平面ABC的交线CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，在RtACE中，ACCE，CAE45.所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45.垂直关系的互化及解题策略空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.一、知识必备面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归、转化思想，其转化关系如下：二、方法必备1
14、求二面角大小的步骤简称为“一作、二证、三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行B可能重合C相交且垂直D相交不垂直C由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角B相等C其和为周角D互为补角D画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D3(
15、多选题)已知l平面，直线m平面，则下列命题正确的有()AlmBlmClmDlmACl，l，m，lm，故A正确；lm，l，m，又m，故C正确4在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于_45根据正方体中的位置关系可知，ABBC，A1BBC，根据二面角的平面角定义可知，ABA1 即为二面角ABCA1的平面角. 又ABAA1，且ABAA1，所以ABA1 45.5.如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B证明：平面AB1C平面A1BC1.证明因为BCC1B1是菱形，所以B1CBC1，又B1CA1B，且BC1A1BB，所以B1C平面A1BC1，又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.
