1、第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a_ 不共线1e12e2(2)基底:_的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1,y1),b(x2,y2),则 a b _,a b _,不共线(x1x2,y1y2)(x1x2,y1y2)3平面向量共线的坐标表示 设a(x1,y1),b(x2,y2),其中a0,b0.a,b共线_0.x1y2x2y1【答案】题组一 常识题1(教材改编)下列各组向量中,可以作
2、为平面内一组基底的是_(填序号)e1(2,4),e2(1,2);e1(4,3),e2(3,8);e1(2,3),e2(2,3);e1(3,0),e2(4,0)【解析】对于,e12e2;对于,e1e2;对于,e134e2;对于,不存在 R,使 e1e2,所以填.【答案】(1,5)2(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1,2),B(3,1),C(5,6),则顶点 D 的坐标为_【解析】设 D(x,y),则由ABDC,得(4,1)(5x,6y),即45x,16y,解得x1,y5,即 D(1,5)3(教材改编)若向量a,b满足ab(1,5),ab(5,3),则b_【解析】由ab(1,5),ab(5,
3、3),得2b(1,5)(5,3)(6,8),所以b(3,4)【答案】(3,4)4(教材改编)已知 a(1,2),b(sin ,cos ),且 ab,则 tan _【解析】由 ab 得cos 2sin,所以 tan sin cos 12.【答案】12题组二 常错题 索引:利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线;对向量的夹角的概念理解出错;由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误;两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢【解析】根据已知可知ab,a与c不共线,b与c不共线,所以能构成基底的组数为2.【答案】2 5给出下列三个向量:a(2,3),b1,32,c(1,1)从三个向量中任意取两个作为一组,能构
4、成基底的组数为_【解析】两向量的夹角要求两向量的起点是同一点画图(图略),易知a,b的夹角为120.本题中a,b的夹角易错认为是60.【答案】120 6等边三角形 ABC 中,若ABa,BCb,则 a,b 的夹角为_7已知 A(5,8),B(7,3),则与向量AB共线的单位向量为_【解析】由已知得AB(12,5),所以|AB|13,因此与AB共线的单位向量为 113AB 1213,513.本题在求AB 的坐标时易出现用 A 点坐标减去 B 点坐标的错误【答案】1213,5138已知平面向量a(1,2),b(2,m),若ab,则m_.【解析】由a(1,2),b(2,m),且ab,得1m2(2)0
5、,即m4.本题利用两向量平行的条件列方程时,易出现1m2(2)0的错误【答案】4考点一 平面向量基本定理及其应用【例 1】(1)(2018全国卷)在ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,E 为 AD 的中点,则EB()A.34AB14AC B.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC(2)在ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且CP23CA13CB,Q是 BC 的中点,AQ 与 CP 的交点为 M,又CM tCP,则实数 t的值为_【解析】(1)法一:如图所示,EBED DB 12AD 12CB1212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC,故选 A.法二:EBABA
6、EAB12AD AB1212(ABAC)34AB14AC,故选 A.(2)因为CP23CA13CB,所以 3CP2CACB,即 2CP2CACBCP,所以 2APPB.即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近 A 点),又因为 A,M,Q 三点共线,设AM AQ.所以CM AM ACAQ AC 12AB12AC AC2 AB22AC,又CM tCPt(APAC)t13ABAC t3ABtAC.故2 t3,22t,解得t34,12.故 t 的值是34.【答案】(1)A(2)34【互动探究】1在本例(2)中,试用向量AB,AC表示CP.【解析】因为CP23CA13CB,所以 3CP2CACB,即 2
7、CP2CACBCP,2APPB,所以AP13AB,CPAPAC13ABAC.2在本例(2)中,试问点M在AQ的什么位置?【解析】由本例(2)的解析CM 2 AB22AC及 12,CB2CQ 知,CM 12(CBCA)22CA 2CB(1)CA CQ(1)CACQ CA2.因此点 M 是 AQ 的中点【反思归纳】跟踪训练 1 在梯形 ABCD 中,ABCD,AB2CD,M,N分别为 CD,BC 的中点,若AB AM AN,则 等于()A.15B.25C.35D.45【解析】因为ABAN NB AN CN AN(CAAN)2ANCM MA 2AN14ABAM,所以AB85AN 45AM,所以45,
8、85,所以 45.【答案】D跟踪训练 2 如图,在ABC 中,设ABa,ACb,AP 的中点为 Q,BQ 的中点为 R,CR 的中点恰为 P,则AP()A.12a12bB.13a23bC.27a47bD.47a27b【解析】如图,连接 BP,则APACCPbPR,APABBPaRPRB,得 2APabRB,又RB12QB 12(ABAQ)12a12AP,将代入,得 2APab12a12AP,解得AP27a47b.【答案】C【答案】A 考点二 平面向量的坐标运算【例 2】设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在线段 AB 上,且|AB|2|AP|,则 P 的坐标为()A(3,1)B(1,1
9、)C(3,1)或(1,1)D无数多个【解析】设 P(x,y),由题意得AB2AP,而AB(2,2),AP(x2,y),故(2,2)2(x2,y),解得 x3,y1,所以P 的坐标为(3,1)故选 A.【反思归纳】跟踪训练 3 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示若cab(,R),则 _【解析】以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为 1 个单位,则 A(1,1),B(6,2),C(5,1),所以 aAO(1,1),bOB(6,2),cBC(1,3)由 c a b 可得16,32,解得2,12,所以4.【答案】4考点三 平面向量共线的坐标表示【例
10、 3】(2019正定检测)已知 a(1,0),b(2,1)(1)当 k 为何值时,kab 与 a2b 共线(2)若AB2a3b,BCamb,且 A,B,C 三点共线,求m 的值【解析】(1)a(1,0),b(2,1),kabk(1,0)(2,1)(k2,1),a2b(1,0)2(2,1)(5,2),kab 与 a2b 共线,2(k2)(1)50,k12.(2)AB2(1,0)3(2,1)(8,3)BC(1,0)m(2,1)(2m1,m)A,B,C 三点共线,ABBC,8m3(2m1)0,m32.【反思归纳】跟踪训练 4 平面内给定三个向量 a(3,2),b(1,2),c(4,1)(1)求满足 ambnc 的实数 m,n.(2)若(akc)(2ba),求实数 k.(3)若 d 满足(dc)(ab),且|dc|5,求 d 的坐标【解析】(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1),m4n3,2mn2,解得m59,n89.(2)akc(34k,2k),2ba(5,2),由题意得 2(34k)(5)(2k)0,解得 k1613.(3)设 d(x,y),则 dc(x4,y1),又 ab(2,4),|dc|5,4(x4)2(y1)0,(x4)2(y1)25,解得x3,y1或x5,y3.d 的坐标为(3,1)或(5,3)课时作业