1、第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a_ 不共线1e12e2(2)基底：_的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 a b _，a b _，不共线(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)3平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a0，b0.a，b共线_0.x1y2x2y1【答案】题组一 常识题1(教材改编)下列各组向量中，可以作
2、为平面内一组基底的是_(填序号)e1(2，4)，e2(1，2)；e1(4，3)，e2(3，8)；e1(2，3)，e2(2，3)；e1(3，0)，e2(4，0)【解析】对于，e12e2；对于，e1e2；对于，e134e2；对于，不存在 R，使 e1e2，所以填.【答案】(1，5)2(教材改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点 D 的坐标为_【解析】设 D(x，y)，则由ABDC，得(4，1)(5x，6y)，即45x，16y，解得x1，y5，即 D(1，5)3(教材改编)若向量a，b满足ab(1，5)，ab(5，3)，则b_【解析】由ab(1，5)，ab(5，
3、3)，得2b(1，5)(5，3)(6，8)，所以b(3，4)【答案】(3，4)4(教材改编)已知 a(1，2)，b(sin ，cos )，且 ab，则 tan _【解析】由 ab 得cos 2sin，所以 tan sin cos 12.【答案】12题组二 常错题 索引：利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；对向量的夹角的概念理解出错；由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误；两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢【解析】根据已知可知ab，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.【答案】2 5给出下列三个向量：a(2，3)，b1，32，c(1，1)从三个向量中任意取两个作为一组，能构
4、成基底的组数为_【解析】两向量的夹角要求两向量的起点是同一点画图(图略)，易知a，b的夹角为120.本题中a，b的夹角易错认为是60.【答案】120 6等边三角形 ABC 中，若ABa，BCb，则 a，b 的夹角为_7已知 A(5，8)，B(7，3)，则与向量AB共线的单位向量为_【解析】由已知得AB(12，5)，所以|AB|13，因此与AB共线的单位向量为 113AB 1213，513.本题在求AB 的坐标时易出现用 A 点坐标减去 B 点坐标的错误【答案】1213，5138已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，若ab，则m_.【解析】由a(1，2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)0
5、，即m4.本题利用两向量平行的条件列方程时，易出现1m2(2)0的错误【答案】4考点一 平面向量基本定理及其应用【例 1】(1)(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14AC B.14AB34ACC.34AB14ACD.14AB34AC(2)在ABC 中，点 P 是 AB 上一点，且CP23CA13CB，Q是 BC 的中点，AQ 与 CP 的交点为 M，又CM tCP，则实数 t的值为_【解析】(1)法一：如图所示，EBED DB 12AD 12CB1212(ABAC)12(ABAC)34AB14AC，故选 A.法二：EBABA
6、EAB12AD AB1212(ABAC)34AB14AC，故选 A.(2)因为CP23CA13CB，所以 3CP2CACB，即 2CP2CACBCP，所以 2APPB.即 P 为 AB 的一个三等分点(靠近 A 点)，又因为 A，M，Q 三点共线，设AM AQ.所以CM AM ACAQ AC 12AB12AC AC2 AB22AC，又CM tCPt(APAC)t13ABAC t3ABtAC.故2 t3，22t，解得t34，12.故 t 的值是34.【答案】(1)A(2)34【互动探究】1在本例(2)中，试用向量AB，AC表示CP.【解析】因为CP23CA13CB，所以 3CP2CACB，即 2
7、CP2CACBCP，2APPB，所以AP13AB，CPAPAC13ABAC.2在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？【解析】由本例(2)的解析CM 2 AB22AC及 12，CB2CQ 知，CM 12(CBCA)22CA 2CB(1)CA CQ(1)CACQ CA2.因此点 M 是 AQ 的中点【反思归纳】跟踪训练 1 在梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，M，N分别为 CD，BC 的中点，若AB AM AN，则 等于()A.15B.25C.35D.45【解析】因为ABAN NB AN CN AN(CAAN)2ANCM MA 2AN14ABAM，所以AB85AN 45AM，所以45，
8、85，所以 45.【答案】D跟踪训练 2 如图，在ABC 中，设ABa，ACb，AP 的中点为 Q，BQ 的中点为 R，CR 的中点恰为 P，则AP()A.12a12bB.13a23bC.27a47bD.47a27b【解析】如图，连接 BP，则APACCPbPR，APABBPaRPRB，得 2APabRB，又RB12QB 12(ABAQ)12a12AP，将代入，得 2APab12a12AP，解得AP27a47b.【答案】C【答案】A 考点二 平面向量的坐标运算【例 2】设点 A(2，0)，B(4，2)，若点 P 在线段 AB 上，且|AB|2|AP|，则 P 的坐标为()A(3，1)B(1，1
9、)C(3，1)或(1，1)D无数多个【解析】设 P(x，y)，由题意得AB2AP，而AB(2，2)，AP(x2，y)，故(2，2)2(x2，y)，解得 x3，y1，所以P 的坐标为(3，1)故选 A.【反思归纳】跟踪训练 3 向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若cab(，R)，则 _【解析】以向量 a 和 b 的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系，令每个小正方形的边长为 1 个单位，则 A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，所以 aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)由 c a b 可得16，32，解得2，12，所以4.【答案】4考点三 平面向量共线的坐标表示【例
10、 3】(2019正定检测)已知 a(1，0)，b(2，1)(1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线(2)若AB2a3b，BCamb，且 A，B，C 三点共线，求m 的值【解析】(1)a(1，0)，b(2，1)，kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)，kab 与 a2b 共线，2(k2)(1)50，k12.(2)AB2(1，0)3(2，1)(8，3)BC(1，0)m(2，1)(2m1，m)A，B，C 三点共线，ABBC，8m3(2m1)0，m32.【反思归纳】跟踪训练 4 平面内给定三个向量 a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)(1)求满足 ambnc 的实数 m，n.(2)若(akc)(2ba)，求实数 k.(3)若 d 满足(dc)(ab)，且|dc|5，求 d 的坐标【解析】(1)由题意得(3，2)m(1，2)n(4，1)，m4n3，2mn2，解得m59，n89.(2)akc(34k，2k)，2ba(5，2)，由题意得 2(34k)(5)(2k)0，解得 k1613.(3)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1)，又 ab(2，4)，|dc|5，4（x4）2（y1）0，（x4）2（y1）25，解得x3，y1或x5，y3.d 的坐标为(3，1)或(5，3)课时作业