1、第1讲 数列的概念与简单表示法1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第n项an 一定顺序每一个数通项公式 数列an的第n项an与n之间的关系能用公式_表示，这个公式叫做数列的通项公式 前n项和 数列an中，Sn_叫做数列的前n项和 anf(n)a1a2an2.数列的表示方法 3.an 与 Sn 的关系若数列an的前 n 项和为 Sn，则 anS1，n1，SnSn1，n2.4数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数_ 无穷数列 项数_ 项与项间的大小关系 递增数列 an1_an 其中 nN*递减数列 an1_an 常
2、数列 an1an 有限无限题组一 常识题1(教材改编)数列1，12，13，14，15，的通项公式为_【解析】原数列中的项的符号一负一正交替出现，故为摆动数列，乘(1)n，取绝对值后分别观察分子、分母，得第 n 项为1n，an(1)n1n.【答案】an(1)n1n2(教材改编)若数列an满足 an11 1an，a83421，则 a5_【解析】由题可得 a72113，a6138，a585.【答案】853(教材改编)已知数列an的通项公式为an2n3，则数列an是_数列(填“递增”或“递减”)【解析】由数列an的通项公式，得an1an2(n1)3(2n3)20，所以an是递增数列【答案】递增 4(教
3、材改编)如图所示的图形的点数构成数列an，则a8_【解析】由题得a11，a24，a37，则an的通项公式为an3n2，所以a838222.【答案】22 题组二 常错题索引：对数列概念中的两个易混点，即项 an 和项数 n；利用 an 与 Sn 的关系求通项公式时，易忽略验证“n1”；数列是自变量为正整数的特殊函数5已知数列an的通项公式为 ann1n1，则数列an的第 5项是_【解析】由数列an的通项公式，得 a551514623，即数列an的第 5 项是23.【答案】23【答案】21 6已知数列 5，11，17，23，29，则 5 5是数列的第_项【解析】数列 5，11，17，23，29，中
4、的各项可变形为 5，56，526，536，546，所以数列的通项公式为 an 56（n1）6n1，令 6n15 5，得 n21.【答案】an0，n1，2n4，n27已知数列an的前 n 项和 Snn23n2，则an的通项公式为_【解析】当 n1 时，a1S1123120；当 n2 时，anSnSn1n23n2(n1)23(n1)22n4.显然当 n1 时，不满足上式，所以 an0，n1，2n4，n2.【答案】08已知数列an的通项公式为 an3n215n18，则数列an的最大项为_【解析】由题意得 an3n52234，当 n2 或 3 时，an 取得最大值 0.考点一 由数列的前 n 项求数列
5、的通项公式【例 1】(1)已知数列an的前 4 项为 2，5，8，11，则数列an的一个通项公式是_(2)已知数列an的前 4 项为12，35，35，1017，则数列an的一个通项公式是_(3)如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为()A5n1 B6nC5n1D4n2【解析】(1)从第二项起，每一项都比前一项大 3，且每一项都比项数的 3 倍少 1，故其通项公式可以为 an3n1.(2)原数列为12，35，610，1017，对于分子 1，3，6，10，其通项公式为 bnn（n1）2，对于分母 2，5，10，17，其通项公式为 cnn21，故可得数列an的一个通项公式为 an(1
6、)n n（n1）2（n21）.(3)第一个图形是六边形，即 a16，以后每个图形是在前一个图形的基础上增加 5 条边，所以 a26511，a311516，观察可得选项 C 满足此条件【答案】(1)an3n1(2)an(1)n n（n1）2（n21）(3)C【反思归纳】跟踪训练 1(1)(2017湖南长沙一模)已知数列的前 4 项为 2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是()Aan(1)n11Ban2，n为奇数0，n为偶数Can2sinn2Dancos(n1)1(2)(2019石家庄模拟)把1，3，6，10，15，21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图
7、)则第7个三角形数是()A27B28C29D30【解析】(1)对 n1，2，3，4 进行验证，an2sinn2 不合题意，故选 C.(2)由图可知，第 7 个三角形数是 123456728.【答案】(1)C(2)B考点二 an与Sn关系的应用 角度1 已知Sn求an【例2】已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_【解析】当 n1 时，a1S13122112，当 n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当 n1 时，不满足上式故数列的通项公式为 an2，n1，6n5，n2.【答案】an2，n16n5，n2【互动探究】若本例中条件“前n项和Sn3n22
8、n1”改为“前n项积为Tn3n22n1”，求an.【解析】当 n1 时，a1T13122112，当 n2时，an TnTn13n22n13（n1）22（n1）13n22n13n28n6.显然当 n1 时，满足上式 故数列的通项公式为 an3n22n13n28n6.角度2 利用an与Sn的关系求Sn【例3】设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_【解析】将 an1 转化为 Sn 与 Sn1，再求解 由已知得 an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得 1Sn1 1Sn1，故数列1Sn 是以1 为首项，1 为公差的等差数列，则 1Sn1(n1)n，所以 Sn1n
9、.【答案】1n【反思归纳】跟踪训练 2(1)已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则 an_(2)(2019广州模拟)设数列an满足 a13a232a33n1ann3，则 an_【解析】(1)当 n1 时，a1S1314；当 n2 时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当 n1 时，23112a1，所以 an4，n1，23n1，n2.(2)因为 a13a232a33n1ann3，则当 n2 时，a13a232a33n2an1n13，得 3n1an13，所以 an 13n(n2)由题意知 a113，符合上式，所以 an 13n.【答案】(1)4，n1，23n1，n2(2)13n考点
10、三 由数列的递推公式求通项公式角度 1 形如 an1anf(n)求 an【例 4】在数列an中，a12，an1an1n（n1），求数列an的通项公式【解析】由题意，得 an1an1n（n1）1n 1n1，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 1n11n 1n2 1n1 1213 112 231n.角度 2 形如 an1anf(n)，求 an【例 5】在数列an中，a11，ann1n an1(n2)，求数列an的通项公式【解析】ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，an2n3n2an3，a212a1.以上(n1)个式子相乘得 ana11223n1n a1n 1n.当 n
11、1 时，a11，上式也成立 an1n(nN*)角度3 形如an1AanB，求an【例6】在数列an中，a11，an12an3，求它的一个通项公式为an.【解析】设递推公式 an12an3 可以转化为 an1t2(ant)，即 an12ant，解得 t3.故 an132(an3)令 bnan3，则 b1a134，且bn1bn an13an3 2.所以bn是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 bn42n12n1，an2n13.角度 4 形如 an1AanBanC(A，B，C 为常数)，求 an【例 7】已知数列an中，a11，an1 2anan2，求数列an的通项公式【解析】an1 2anan2，a11，an0，1an1 1an12，即 1an1 1an12，又 a11，则 1a11，1an 是以 1 为首项，12为公差的等差数列 1an 1a1(n1)12n212，an 2n1(nN*)【反思归纳】课时作业
