1、考点测试14变化率与导数、导数的计算高考概览本考点是高考的必考知识点，既可作为选择题、填空题独立考查，也可结合导数应用在解答题中综合考查，分值5分、12分，中等难度考纲研读1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数的定义求函数yC(C为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数一、基础小题1满足f(x)f(x)的函数是()Af(x)3x Bf(x)xCf(x)ln x Df(x)0答案D解析若f(x)0，则f(x)
2、0，从而有f(x)f(x)故选D.2设f(x)xln x，f(x0)2，则x0()Ae2 Be C Dln 2答案B解析f(x)1ln x，f(x0)1ln x02，x0e.故选B.3已知一个物体的运动方程为s1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在4 s末的瞬时速度是()A7 m/s B6 m/sC5 m/s D8 m/s答案A解析7t，当t无限趋近于0时，无限趋近于7.故选A.4函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)xex，则曲线yf(x)在x1处的切线方程为()A2exye0 B2exye0C2exy3e0 D2exy3e0答案A解析当x0时，f(x)(x1)ex，故f(1
3、)2e，f(1)e，因为函数f(x)为偶函数，所以yf(x)的图象关于y轴对称，故f(1)2e，f(1)e，所求切线方程为ye2e(x1)，即2exye0.故选A.5设函数f(x)xsinxcosx的图象在点(t，f(t)处切线的斜率为g(t)，则函数yg(t)的图象一部分可以是()答案A解析由f(x)xsinxcosx可得f(x)sinxxcosxsinxxcosx，即yg(t)tcost，是奇函数，排除B，D；当t时，yg(t)0，排除C.故选A.6设f(x)是可导函数，且满足 1，则yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A1 B1 C2 D2答案A解析 1，即f(1)1，由导数
4、的几何意义知，yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.7若点A(t,0)与曲线yex上点P的距离的最小值为2，则实数t的值为()A4 B4C3 D3答案D解析yex的导数为yex，设P(m，em)，可得过P的切线的斜率为em，当AP垂直于切线时，AP取得最小值2，可得，且2，可得(mt)2(mt)120，解得mt3(4舍去)，即有e2mtm3，解得m，t3，故选D.8函数yxln (xa)的图象在点(0,0)处的切线方程为yx，则实数a的值为_答案e解析yln (xa)，当x0时，yln a1，解得ae.二、高考小题9(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线
5、方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1答案D解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.10(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x Byx Cy2x Dyx答案D解析因为函数f(x)是奇函数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，f(x)3x21，所以f(0)1，f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yf(0)f(0)x，化简可得yx，故选D
6、.11(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_答案y3x解析y3(2x1)ex3(x2x)exex(3x29x3)，斜率ke033，切线方程为y3x.12(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_答案(e,1)解析设A(m，n)，则曲线yln x在点A处的切线方程为yn(xm)又切线过点(e，1)，所以有n1(me)再由nln m，解得me，n1.故点A的坐标为(e,1)13(2018全国卷)曲线y2ln (x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案y2x解析y
7、，k2，所求切线方程为y2x.三、模拟小题14(2019佛山模拟)若曲线yex在x0处的切线，也是yln xb的切线，则b()A1 B1 C2 De答案C解析yex的导数为yex，曲线yex在x0处的切线斜率为k1，则曲线yex在x0处的切线方程为y1x，即yx1，yln xb的导数为y，设yx1和yln xb相切的切点为(m，n)，则1，解得m1，n2，即有2ln 1b，解得b2.故选C.15(2019内江一模)若函数f(x)x3ln xx，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的倾斜角是()A. B C D答案B解析根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是，f(x)x3ln xx，则f(
8、x)x21，则有kf(1)，则tan，又00且x1时，0，若曲线yf(x)在x1处的切线斜率为，则f(1)()A. B C D1答案A解析当x0且x1时，0，可得当x1时，2f(x)xf(x)0；当0x1时，2f(x)xf(x)1时，g(x)0；当0x1时，g(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)单调递增因为f(e)10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)证明：因为eln x0，所以点B在曲线yex上由题设知f(x0)0，即ln x0，故直线AB的斜率
9、k.曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线yln x在点A(x0，ln x0)处切线的斜率也是，所以曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线2(2019北京高考)已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x；(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解(1)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)证
10、明：令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下：x2(2,0)04g(x)00g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.3(2018全国卷)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.解(1)f(x)，f(0)2.因此曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程是y12x，即2x
11、y10.(2)证明：当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.二、模拟大题4(2019西藏拉萨二模)已知函数f(x)axbex，且函数f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线斜率为a1. (1)求b的值；(2)求函数f(x)的最值；(3)当a1,1e时，求证：f(x)x.解(1)由题意，得f(x)abex，又f(0)aba1，b1.(2)f(x)aex.当a0时，f(x)0时，令f(x)ln a，令f(x)0，得x0时，f(x)的最大值为aln a
12、a，无最小值(3)证明：要证f(x)x，即证(a1)xex，令F(x)ex(a1)x，当a1时，F(x)ex0，(a1)xex成立；当1a1e时，F(x)ex(a1)exeln (a1)，当xln (a1)时，F(x)ln (a1)时，F(x)0，F(x)在区间(，ln (a1)上单调递减，在区间(ln (a1)，)上单调递增，F(x)Fln (a1)eln (a1)(a1)ln (a1)(a1)1ln (a1)1a1e，0a1e,1ln (a1)1ln e0，F(x)0，即(a1)xex成立，故原不等式成立5(2019长春三模)已知aR，函数f(x)aln x.(1)讨论函数f(x)的单调性
13、；(2)若x2是f(x)的极值点，且曲线yf(x)在两点P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)(x1x26)处切线平行，在y轴上的截距分别为b1，b2，求b1b2的取值范围解(1)f(x)，当a0时，f(x)0，x时，f(x)0；x时，f(x)0，即f(x)在上单调递减，在上单调递增(2)x2是f(x)的极值点，由(1)可知2，a1.设曲线yf(x)在P(x1，f(x1)处的切线方程为y(xx1)，在Q(x2，f(x2)处的切线方程为y(xx2)，这两条切线互相平行，.，且0x1x26，x1(3,4)令x0，则b1ln x11，同理，b2ln x21.解法一：，b1b24ln x1ln x
14、24ln ln.设g(x)8x2ln xln，x，g(x)80，函数g(x)在区间(3,4)上单调递增，g(x)，b1b2的取值范围是.解法三：x1x22(x1x2)，b1b2ln x1ln x2ln ln ln .设g(x)ln x，则g(x).1，g(x)0，函数g(x)在区间上单调递增，g(x)，b1b2的取值范围是.6(2019湖北“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三期末考试)已知f(x)ln x，设A(x1，ln x1)，B(x2，ln x2)且x1x2，记x0.(1)设g(x)f(x1)ax，其中aR，试求g(x)的单调区间；(2)试判断弦AB的斜率kAB与f(x0)的大小关系，
15、并证明；(3)证明：当x1时，.解(1)g(x)ln (x1)ax(x1)，g(x)a，若a0，则g(x)a0，g(x)是(1，)上的增函数；若a0，则g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)kABf(x0)证明如下：kAB，f(x0)，则kABf(x0)ln 2，令t1，则kABf(x0)，令h(t)ln t2，h(t)0，而h(1)0，则h(t)在(1，)上单调递增，且恒为正，又因为x1x2，所以ln 20，即kABf(x0)(3)证明：当x(1，)时，原不等式等价于exln xx21，由(2)知ln x2，下面先证ex2x21，转化为ex(x1)2.令F(x)ex(x1)2，则F(x)ex(x1)，令T(x)ex(x1)，则T(x)ex1，当x(1，)时，T(1)e10，故T(x)ex(x1)在(1，)上单调递增，则T(1)F(1)e(11)0，故F(x)在(1，)上单调递增，则F(1)e20，故x(1，)时，ex(x1)2成立，又因为当x1时，exln xex2，所以当x1时，.
