1、第4讲 直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的_都垂直，则直线l与平面垂直(2)判定定理与性质定理 任意一条直线文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直 l 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_ ab 两条相交直线平行2.直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在_所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90和0.平面上的射影3二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角
2、的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(3)范围0，两个半平面垂直于棱4平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理与性质定理 直二面角文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于_的直线与另一个平面垂直 l 垂线交线题组一 常识题 1(教材改编)已知直线a，b和平面，且a，b，则a与b的位置关系为_【解析】因为a，所以a垂直于内的任意直线因为b，所以b可以平移至内，所以ab.【答案】ab 2(教材改编)给出下列条件
3、：l与平面内的两条直线垂直；l与平面内的无数条直线垂直；l与平面内的某一条直线垂直；l与平面内的任意一条直线垂直其中能判定直线l平面的有_(填序号)【解析】只有能满足直线l与平面内的两条相交直线垂直，故满足题意【答案】3(教材改编)若PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则所形成的平面中一定互相垂直的平面有_对【解析】如图所示，由于PD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD，平面PBC平面PDC.故一定互相垂直的平面有7对【答案】7 4(教材改编)
4、在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，若PAPBPC，则点O是ABC的_心【解析】如图所示，连接OA，OB，OC，OP.因为PAPBPC，POPOPO，所以RtPOARtPOBRtPOC，所以OAOBOC，即O为ABC的外心【答案】外 题组二 常错题 索引：证明线面垂直时，易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件；面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直；注意排除由平面到空间的思维定式的影响 5“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的_条件【解析】根据直线与平面垂直的定义知，由“直线a与平面内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面垂直”，反之可以，所以应该是
5、必要不充分条件【答案】必要不充分 6如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是_(填序号)A1D；AA1；A1D1；A1C1.【解析】连接B1D1，由题易知，A1C1平面BB1D1D，又OB1平面DD1B1B，A1C1B1O.【答案】7如图所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPD 2a，则它的 5 个面中，互相垂直的面有_对【解析】由底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PAa，PBPD 2a，可得 PA底面 ABCD，而 PA平面 PAB，PA平面 PAD，可得面 PAB面 ABC
6、D，面 PAD面 ABCD，AB面PAD，可得面 PAB面 PAD，BC面 PAB，可得面 PAB面 PBC，CD面 PAD，可得面 PAD面 PCD.故共 5 对互相垂直的面【答案】5考点一 有关垂直关系的判断【例1】设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mn B若m，mn，n，则 C若mn，m，n，则 D若，m，n，则mn【解析】若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故A错误；m，mn，n，又n，故B正确；若mn，m，n，则与的位置关系不确定，故C错误；若，m，n，则mn或m，n异面，故D错误故选B.【答案】B【反思归纳】跟踪训练1(2019东城
7、模拟)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且n C，且mDmn，且n【解析】因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误故选B.【答案】B 考点二 直线与平面垂直的判定与性质角度 1 利用线线垂直证明线面垂直【例 2】(2019宜昌模拟)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC2BB1，E，F，M 分别为 A1C1，AB1，BC 的中点(1)求证：EF平面BB1C1C.(2)
8、求证：EF平面AB1M.【证明】(1)连接A1B，BC1.因为 E，F 分别为 A1C1，AB1 的中点，所以 F 为 A1B 的中点，所以 EFBC1.因为 BC1平面 BB1C1C，EF平面 BB1C1C，所以 EF平面 BB1C1C.(2)在矩形 BCC1B1，BC 2BB1，所以 tanCBC1 22，tanB1MB 2.所以 tanCBC1tanB1MB1.所以CBC1B1MB2.所以 BC1B1M.因为 EFBC1，所以 EFB1M.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面 ABC平面 BB1C1C.因为 M 为 BC 的中点，ABAC，所以 AMBC.因为平面ABC平面BB1C
9、1CBC，所以AM平面BB1C1C.因为BC1平面BB1C1C，所以AMBC1.因为EFBC1，所以EFAM.又因为AMB1MM，AM平面AB1M，B1M平面AB1M，所以EF平面AB1M.角度2 利用线面垂直证明线线垂直【例 3】如 图，在 三 棱 锥 ABCD 中，AB AD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.(1)求证：EF平面ABC.(2)求证：ADAC.【证明】(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面B
10、CDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.【反思归纳】考点三 面面垂直的判定与性质【例4】(2018全国卷)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由【解析】(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为CD上异于C，D的点，且
11、DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：如图，连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点连接OP，因为P为AM中点，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.【反思归纳】跟 踪 训 练 2 如 图，在 三 棱 锥 PABC 中，PA AB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD.(2)求证：平面BDE平面PAC.(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【解析】(1)证明：因为PAA
12、B，PABC，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以 DE12PA1，BDDC 2.由(1)知，PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC.所以三棱锥 E-BCD 的体积 V16BDDCDE13.考点四 垂直关系的综合应用 角度1 直线与平面所成的角【例5】如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的一动点(1)证明：PBC 是直角三角形(2
13、)若 PAAB2，且当直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值为 2时，求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值【解析】(1)证明：AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点 BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形(2)如图，过A作AHPC于H，BC平面 PAC，BCAH，PCBCC，AH平面 PBC，ABH 是直线 AB 与平面 PBC 所成角，PA平面 ABC，PCA 即是 PC 与平面 ABC 所成角，tanPCAPAAC 2，又 PA2，AC 2，在 RtPAC 中，AH PAACPA2AC22 33，在 RtABH 中
14、，sinABHAHAB23 32 33，即直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 33.角度2 与垂直有关的探索性问题【例6】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF.(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.【解析】(1)证明：连接 CE 交 AD 于 O，连接 OF.因为 CE，AD 为ABC 的中线，则 O 为ABC 的重心，故 CFCC1COCE23，故 OFC1E，因为OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)当BM1时，平面CAM平面ADF.证明如下：因为ABAC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又 平 面 B1BCC1 平 面 ABC BC，所 以 AD 平 面B1BCC1，CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故CBMFCD.易证CMDF，DF与AD相交，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.【反思归纳】课时作业
