1、课时作业19利用空间向量求角和距离|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知平面的一个法向量为n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10B3C. D.解析：点P到平面的距离d.答案：D2直三棱锥ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，B(0,2,2)，A1(2,0,0)
2、，B1(0,2,0)，M(1,1,0)；所以(1，1，2)，(1,0，2)；所以cos，；所以BM与AN所成角的余弦值为.故选D.答案：D3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，(2,0,1)连接AC，易证AC平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2,2,0)所求角的正弦值为|cosa，|.答案：D4正方形ABCD所在平面外有一点
3、P，PA平面ABCD.若PAAB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为()A30 B45C60 D90解析：建系如图，设AB1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)平面PAB的法向量为n1(1,0,0)设平面PCD的法向量n2(x，y，z)，则得令x1，则z1.n2(1,0,1)，cosn1，n2.平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.此角的大小为45.答案：B5已知矩形ABCD与ABEF全等，DABF为直二面角，M为AB中点，FM与BD所成角为，且cos，则AB与BC的边长之比为()A11 B.1C.2 D12解析：设AB
4、a，BCb，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则相关各点坐标为F(b,0,0)，M，B(0，a,0)，D(0,0，b)，(0，a，b)，所以|，|，|cos，|，整理得45260，所以.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6直线l的方向向量a(2,3,2)，平面的一个法向量n(4,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值为_解析：设直线l与平面所成的角是，a，n所成的角为，sin|cos|.答案：7在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin，_.解析：建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2.则C(0,2,0)，M(2,0,1)
5、，D1(0,0,2)，N(2,2,1)(2，2,1)，(2,2，1)cos，.sin，.答案：8棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是_解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，B(a，a,0)，M，A1(a,0，a)，所以(a，a,0)，设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则即所以令x1，则n(1，1，2)，所以点A1到平面MBD的距离为da.答案：a三、解答题(每小题10分，共20分)9正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1
6、A1的夹角解析：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)，C1，B1(0，a，a)方法一如图，取A1B1的中点M，则M，连接AM，MC1，则，(0，a,0)，(0,0，a)0，0，MC1平面ABB1A1.C1AM即直线AC1与侧面ABB1A1的夹角，02a2.又|a，|，cos，.，30，即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.方法二(0，a,0)，(0,0，a)设侧面ABB1A1的法向量为n(，x，y)，则n0且n0，ax0且ay0，xy0，故n(，0,0)又，cos，n.设AC1与侧面ABB1A1的夹角为，则sin|cos，n|，30，
7、即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30.10如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA4，CB4，CC12，ACB90，点M在线段A1B1上(1)若A1M3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；(2)若直线AM与平面ABC1所成角为30，试确定点M的位置解析：(1)分别以CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示Cxyz，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4,2)因为A1M3MB1，所以M(1,3,2)，可得(4,0，2)，(3,3,2)，所以cos，.所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为.(2)由(1)得B(0,4,0)，B1
8、(0,4,2)，所以(4,4,0)，(4,0,2)设n(a，b，c)是平面ABC1的法向量，可得取a1，得b1，c，所以n(1,1，)，而直线AM与平面ABC1所成角为30，可得与n所成角为60或120，所以|cos，n|，设点M的横坐标为x，则(x4,4x,2)，即，解得x2或6.由M在线段A1B1上可得0x4，故x2，即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30.|能力提升|(20分钟，40分)11正方体ABCDA1B1C1D1棱长为a，则点C1到平面A1BD的距离是()A.a B.aC.a D.a解析：以A为原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直
9、角坐标系，则(a，a，a)，(0，a，a)，由于AC1平面A1BD，所以点C1到平面A1BD的距离是a.故选D.答案：D12如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_解析：建立空间直角坐标系如图，则B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为.答案：13如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，ADE90，AFDE，DEDA2AF2.请建立适当的直角坐标系解答下列问题：(1)求证：AC平面BEF；(2)求平面BEF与平面ABCD所成角的余弦
10、值解析：(1)证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DE为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，F(2,0,1)(0，2,1)，(2，2,2)，(2,2,0)设平面BEF的法向量n(x，y，z)，则有n0，n0.即2yz0，2x2y2z0，取y1，则z2，x1，所以n(1,1,2)，又n0，所以n，又AC平面BEF，所以AC平面BEF.(2)易知(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量，cos，n.即平面BEF与平面ABCD所成角的余弦值为.14如图1所示，在边长为12的正方形AAA1A1中，
11、BB1CC1AA1，且AB3，BC4，AA1分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得AA1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABCA1B1C1，请在图2中解决下列问题：(1)求证：ABPQ；(2)求直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值解析：(1)证明：由题图1知，CAAAABBC5，BPAB3，CQAC7，在题图2中，因为AB2BC2AC2，所以ABBC，又B1BAB，B1BBC，所以，以B为原点，分别以直线AB，BC，BB1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，A(3,0,0)，C(0,4,0)，A1(3,0,12)，P(0,0,3)，Q(0,4,7)，所以(3,0,0)，(0,4,4)，因为3004040，所以，即ABPQ.(2)由(1)知，(3,0,9)，(0,4,0)设n(x，y，z)是平面A1PQ的法向量，则取z1，得n(3，1,1)，设直线BC与平面A1PQ所成角为，则sin|cosn，|.即直线BC与平面A1PQ所成角的正弦值为.