1、第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 1.集合的含义与表示方法(1)集合的含义：含义：研究对象叫做_，一些_组成的总体叫做集合.元素的性质：_、_、_.(2)元素与集合的关系：属于，记为_；不属于，记为_.元素 元素 确定性 无序性 互异性 (3)常见集合的符号：(4)集合的表示方法:_；_；_.自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 _ _ _ _ _ N N*或N+Z Q R 列举法 描述法 图示法 2.集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相 等 集合A与集合B中的 所有元素_ _且 _A=B 子 集 A中任意一个元素均 为B中的元素 AB或BA 真子集 A中任意
2、一个元素均为B中的元素,且B中至少有一个元素不是A中的元素 _ 空 集 空集是_的 子集,是_ 的真子集 AB BA 相同 ABB A或任何集合 任何非空集合 AB(B)3.集合的基本运算 基本运算 并集 交集 补集 符号 表示 _ _ 若全集为U，集合A为全集U的一个子集，则集合A的补集为_ 图形 表示 数学语言 表示 _ _ _ x|xA或xB x|xA且xB AB AB UAUAx|xUxA且判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)任何集合至少有两个子集.()(2)已知集合A=x|y=x2,B=y|y=x2,C=(x,y)|y=x2，则A=B=C.()(3)含有n个元素的集
3、合的子集个数是2n，真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2.()(4)AB=的充要条件是A=B=.()【解析】(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误集合A是函数y=x2的定义域，即A=(-,+)；集合B是函数y=x2的值域，即B=0,+)；集合C是满足方程y=x2的实数x,y的集合，也可以看作是函数y=x2图象上的点组成的集合，因此这三个集合互不相等(3)正确含有n个元素的集合的子集个数是 故其真子集个数是2n-1，非空真子集的个数是2n-2(4)错误AB=时，只要集合A,B没有公共元素即可，不一定 是A=B=答案:(1)(2)(3)(4)01nnnn
4、nCCC2，1.已知集合A=xN|0 x5，则集合B=()(A)2,4 (B)0,2,4 (C)0,1,3 (D)2,3,4【解析】选B集合A=0,1,2,3,4,5，所以B=0,2,4 2.已知集合P=-1，m，Q=x|-1x ，若PQ，则 整数m为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析】选A.PQ,-1m 又mZ,m=0.AB1,3,5，343.43.若集合P=x|x1,Q=x|x-1，则()(A)PQ (B)QP(C)(D)【解析】选C.RPQ?RQP RPx|x1,RPQ.4.设全集U=xZ|-1x3，A=xZ|-1x3，B=xZ|x2-x-20，则(A)-1 (B)-1,2
5、(C)x|-1x2 (D)x|-1x2【解析】选A.全集U=-1,0,1,2,3，集合A=0,1，2，集合B=-1,0,1,2，所以 U(A)B()U(A)B1,31,0,1,21.5.设集合A=x|x2+2x-80,B=x|x1，则图中阴影部分表 示的集合为()(A)x|x1 (B)x|-4x2(C)x|-8x1 (D)x|1x2【解析】选D.阴影部分是 集合A=x|-4x2，所以 RAB.RBx|x1，RABx|1x2 考向 1 集合的基本概念【典例1】(1)(2012新课标全国卷)已知集合A=1,2,3,4,5,B=(x,y)|xA,yA,x-yA,则B中所含元素的个数为()(A)3 (
6、B)6 (C)8 (D)10(2)已知A=a+2,(a+1)2,a2+3a+3，若1A，则实数a构成的集 合B的元素个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【思路点拨】(1)集合B中的元素是满足xA,yA,x-yA的有序实数对，根据要求分类列举求解(2)据1A逐个讨论求解a值，根据集合元素的互异性得集合B中元素的个数【规范解答】(1)选D.方法一：x=2时，y=1，x-y=1，此时(x,y)=(2,1)，此时(x,y)有1个；x=3时，y=1,2，此时x-y=2,1，(x,y)有2个；x=4时，y=1,2,3，此时x-y=3,2,1，(x,y)有3个；x=5时，y=1,2,3,4，此时
7、x-y=4,3,2,1，(x,y)有4个 所以集合B中的元素个数为1+2+3+4=10 方法二：在平面直角坐标系中列出x,yA的点，其中在直线x-y=a(aA)上的点的个数即为集合B中元素的个数如图，容易计算其中是集合B的元素共有10个(2)选B.若a+2=1，则a=-1，代入集合A，得A=1,0,1，与集合元素的互异性矛盾；若(a+1)2=1，得a=0或-2，代入集合A，得A=2,1,3或A=0,1,1，后者与集合元素的互异性矛盾，故a=0符合要求；若a2+3a+3=1，则a=-1或-2，代入集合A，得A=1,0,1或A=0,1,1，都与集合元素的互异性相矛盾 综上可知，只有a=0符合要求，
8、故集合B中只有一个元素【互动探究】在本例题(1)的集合B中如果去掉x-yA的限制条件，其他条件均不变，则集合B中含有的元素个数是多少？【解析】x有5种取法，y有5种取法，共有55=25种取法，故集合B中含有25个元素【拓展提升】1.注意集合中元素的互异性 对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.集合的含义 集 合 含 义 x|f(x)=0 方程f(x)=0的解集 x|f(x)0 不等式f(x)0的解集 x|y=f(x)函数y=f(x)的定义域 y|y=f(x)函数y=f(x)的值域 (x,y)|y=f(x)函数y=f(x)图象上的点集 【变式备选】定义集
9、合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB.设A=1,2,B=0,2,则集合A*B的所有元素之和为()(A)0 (B)2 (C)3 (D)6【解析】选D.根据指定的法则，集合A*B中的元素是A，B中的元素的乘积，根据集合元素的性质，得A*B=0，2，4，故集合AB中所有元素之和为6.考向 2 集合间的基本关系【典例2】(1)(2012大纲版全国卷)已知集合 B=1,m，AB=A，则m=()(A)0或 (B)0或3 (C)1或 (D)1或3(2)若集合A=1,a,b，B=a,a2,ab，且AB=AB，则实数 a的取值集合是_.A1,3,m，33【思路点拨】(1)AB=ABA，据此得关于m的方程进行
10、求解，再检验得m值(2)AB=ABA=B，列出关于a,b的方程组求解，再根据集合元素的性质加以检验得出结论【规范解答】(1)选B.因为AB=A,所以BA,所以m=3或 若m=3，则A=1,3,B=1,3，满足AB=A.若 解得m=0或m=1.若m=0，则A=1,3,0，B=1,0,满足AB=A.若m=1，则A=1,3,1,B=1,1，显然不成立，综上，m=0或m=3 mm.3mm，(2)方法一：因为AB=AB,所以A=B，所以1,b=a2,ab，所以 或 解得 或 或 反代回A,B集合知，只有 适合，所以 即实数a的取值集合是-1.21abab ，21abba，a1b0 ，a1bR，a1,b1
11、.a1b0 ，a1b0.，方法二:因为AB=AB,所以A=B，所以1，b=a2,ab.由于 两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别 等于另外两个数的和与积，故1,b=a2,ab成立的充要条件 是 解得 或 反代回A，B集合知，只有 适合.即实数a的取值集合是-1.答案:-1 221 baab,1baab,a1,b0 a1,bR.a1,b0 【拓展提升】1.集合间的基本关系的几个结论(1)AB=ABA.(2)AB=AAB.(3)AB=ABA=B【提醒】解决两个集合之间的包含关系时，注意空集的情况，如AB，无论集合B如何，集合A都有为空集的可能 2.解决集合相等问题的一般思路 若两
12、个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解.【变式训练】(1)已知M=x|x-a=0,N=x|ax-1=0，若MN=N，则实数a的值为()(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)0或1或-1【解析】选DMN=NNM 当a=0时，N=，符合要求，当a0时，只要 即a=1即可 1aa，(2)设集合A=x,y,x+y,B=0,x2,xy，若A=B，则实数对(x,y)的取值集合是_.【解析】由A=B，且0B，故集合B中的元素x20,xy0，故x0,y0，那么只能是集合A中的x+y=0，此时就是在条件x+y=0下，x,y=x2,xy，即 或
13、解得 或 答案:(1,-1),(-1,1)2xy0,xx,xyy，2xy0,xy,xyx.x1,y1 ，x1,y1.考向 3 集合的基本运算【典例3】(1)(2012辽宁高考)已知全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，则 为()(A)5,8 (B)7,9(C)0,1,3 (D)2,4,6 UU(A)(B)痧(2)(2013珠海模拟)设集合 则AB=()(A)x|-1x2 (B)(C)x|x2 (D)x|1x2 21Ax|x2,Bx|x1,2 1x|x12【思路点拨】(1)可以根据补集定义求出 再根据交集定 义得出结论，还可以利用
14、Venn图解决(2)先求出集合B，然后根据并集的定义得出结果.UUA,B，痧【规范解答】(1)选B.方法一：因为全集U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A=0,1,3,5,8，集合B=2,4,5,6,8，所以 所以 故选B.UUA2,4,6,7,9B0,1,3,7,9，痧 UUAB7,9痧方法二：集合 如图所示：(2)选A.B=x|x21=x|-1x1,=x|-1x2.UUU(A)(B)AB7,9痧?1Ax|x2,2 1ABx|x2x|1x12 【拓展提升】1.集合的运算律(1)交换律：AB=BA,AB=BA.(2)结合律：(AB)C=A(BC)；(AB)C=A(BC).(3)分配
15、律：A(BC)=(AB)(AC)；A(BC)=(AB)(AC).(4)狄摩根定律:UUUABAB；痧?UUUABAB.痧?2.集合的基本运算的关注点(1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.【变式训练】(1)(2013惠州模拟)已知集合A=-1，1，B=x|mx=1,且AB=A,则m的值为()(A)1或-1或0 (B)-1(C)1或-1 (D)0【解析】选A.AB=A,BA.
16、又A=-1,1,B=,-1,1.当B=时，m=0;当B=-1时，m=-1;当B=1时，m=1,故m的值为1或-1或0.(2)已知集合M=y|y=2x，集合N=x|y=lg(2x-x2)，则MN=()(A)(0,2)(B)(2,+)(C)0,+)(D)(-,0)(2,+)【解析】选A.集合M为函数y=2x的值域，即M=(0,+)，集合N是函数y=lg(2x-x2)的定义域，由不等式2x-x20，解得N=(0,2)，所以MN=(0,2).【创新体验】以集合为载体的创新型问题 【典例】(2011福建高考)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为k,即k=5n+k|nZ，k=0,
17、1,2,3,4.给出如下四个结论：20111；-33；Z=01234;“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a-b0”，其中，正确结论的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【思路点拨】找准 创新 点 k的意义是整数被5除所得余数为k的所有整数组成的集合，称为一个“类”寻找 突破 口 (1)按照“类”的定义，判断2 011是否在类1中、-3是否在类3中(2)根据类的划分，所有整数被5除后可以分为5个不同的类(3)同一类中的两个整数之差一定能被5整除 【规范解答】选C.2 011=2 010+1=4025+11,正确；由-3=-5+22可知不正确；根据题意信息可知正确;若整数a，b属于
18、同一类，不妨设a，bk=5n+k|nZ,则a=5n+k,b=5m+k,n,m为整数，a-b=5(n-m)+00正确,故正确.【思考点评】1.方法感悟：本题中对新定义的理解是解题的关键，定义中的“类”实际上就是一个集合，这个集合中的元素被5除所得的余数相同，即集合k中的元素特征是5n+k(n为整数)，明确了这个特征后就可以通过计算和简单的推理解决问题了.2.技巧提升：以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚
19、，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质 1.(2012湖南高考)设集合M=-1,0,1，N=x|x2x，则 MN=()(A)0 (B)0，1(C)-1，1 (D)-1，0，1【解析】选B.N=x|0 x1,M=-1,0,1,MN=0,1.2.(2012山东高考)已知全集U=0，1，2，3，4，集合A=1，2，3，B=2，4，则 为()(A)1,2,4 (B)2,3,4(C)0,2,
20、4 (D)0,2,3,4【解析】选C.因为 所以 选C.UABUA0,4,UAB0,2,4,3.(2012浙江高考)设集合A=x|1x4，集合B=x|x2-2x-30,则 =()(A)(1,4)(B)(3,4)(C)(1,3)(D)(1,2)(3,4)【解析】选B.B=x|x2-2x-30=x|-1x3，RA(B)RABx|1 x4x|x1x3x|3x4 或 4.(2012江西高考)若集合A=-1，1，B=0，2，则集合z|z=x+y,xA,yB中的元素的个数为()(A)5 (B)4 (C)3 (D)2【解析】选C.因为xA,yB，所以当x=-1时，y=0,2，此时z=x+y=-1,1 当x=
21、1时，y=0,2，此时z=x+y=1,3，所以集合z|z=-1,1,3=-1,1,3共3个元素，选C.5.(2013湛江模拟)定义集合运算：=z|z=xy(x+y),xA,yB.设集合A=0，1，B=2，3，则集合 所有 元素之和为()(A)0 (B)6 (C)12 (D)18【解析】选D.当x=0时，z=0；当x=1,y=2时，z=12(1+2)=6；当x=1,y=3时，z=13(1+3)=12，=0,6,12,集合 所有元素之和为18.ABABABAB1.已知P=a|a=(1,0)+m(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合，则PQ=()(A)(1，1)
22、(B)(-1，1)(C)(1，0)(D)(0，1)【解析】选A.因为a=(1,m)，b=(1-n,1+n)，代入选项可得PQ=(1,1)，故选A.2.已知集合A=(x,y)|x2+y21，B=(x,y)|-1x1,-1y1，则集合N=(x,y)|x=x1+x2,y=y1+y2,(x1,y1)A,(x2,y2)B表示的区域的面积是_.【解析】x1=x-x2,y1=y-y2，代入 得(x-x2)2+(y-y2)21，其中圆心在区域(x,y)|-1x1,-1y1内变 动，变动过程中形成如图所示的 平面区域，这个区域含有原有的 正方形区域，以及四个四分之一 圆形区域，四个边长为2,1的矩形，故其面积是4+421+=12+答案:12+2211xy1，
