1、第2课时对数函数的图象与性质的应用学 习 目 标核 心 素 养1能正确判断图象之间的变换关系(重点)2理解并掌握对数函数的单调性(重点)3会用对数函数的相关性质解综合题(难点)通过学习本节内容，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养画出对数函数ylog2x，ylogx的图象，说出该函数的性质，探究对数型函数yloga(x22x3)的一般性质(定义域、值域、单调性等)1平移变换当b0时，将yloga x的图象向左平移b个单位，得到yloga(xb)的图象；向右平移b个单位，得到yloga(xb)的图象当b0时，将yloga x的图象向上平移b个单位，得到ylogaxb的图象，将ylog
2、ax的图象向下平移b个单位，得到ylogaxb的图象2对称变换要得到yloga 的图象，应将yloga x的图象关于x轴对称为了得到函数ylg 的图象，只需把函数ylg x的图象上所有的点 向左平移3个单位，再向下平移1个单位ylg lg (x3)1，故将ylgx向左平移3个单位，再向下平移1个单位对数函数的图象【例1】作出函数y|log2 (x2)|4的图象，并指出其单调增区间思路点拨可先作出ylog2 x的图象，再左移2个单位得到ylog2 (x2)，通过翻折变换得到y|log2 (x2)|，再向上平移4个单位即可解步骤如下：(1)作出ylog2 x的图象，如图(1)(2)将ylog2 x
3、的图象沿x轴向左平移2个单位得到ylog2 (x2)的图象，如图(2)(3)将ylog2 (x2)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，得到y|log2 (x2)|的图象，如图(3)(4)将y|log2 (x2)|的图象沿y轴方向向上平移4个单位，得到y|log2(x2)|4的图象，如图(4)由图可知，函数的单调增区间为1，)1已知yf(x)的图象，求y|f(xa)|b的图象步骤如下：yf(x)yf(xa)y|f(xa)|y|f(xa)|b2已知yf(x)的图象，求y|f(xa)b|的图象，步骤如下：yf(x)yf(xa)yf(xa)by|f(xa)b|从上可以看出，作含有绝对
4、值号的函数图象时，先将绝对值号内部的图象作出来，再进行翻折，内部变换的顺序是先变换x，再变换y1(1)若函数f(x)ax(a0，a1)是定义域为R的增函数，则函数g(x)loga (x1)的图象大致是()(2)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logb x的图象可能是()(1)D(2)B(1)因为函数f(x)ax是定义域为R的增函数，所以0a1另外g(x)loga (x1)的图象是由函数h(x)loga x的图象向左平移1个单位得到的(2)由lg alg b0，得lg (ab)0，所以ab1，故a，所以当0b1；当b1时，0a0x293x3，当x(3,0)时，u(x)9x
5、2单调递增，f(x)单调递减当x(0,3)时，u(x)9x2单调递减，f(x)单调递增9x2(0,9，log (9x2)log 92即函数的值域为2，)(2)f(x)log3 log3 (log3 x1)(log3 x2)(log3 x)23log3 x2，令tlog3 x，x3,27，t1,3，f(x)max2，f(x)min函数值域为对数函数的综合问题【例3】已知函数f(x)lg (2x)lg (2x)(1)求值：ff；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断函数的单调性并用定义证明思路点拨(1)利用代入法求解，(2)(3)用定义法判断奇偶性和单调性解(1)fflg lg lg lg 0(2
6、)由题知2x2，又f(x)lg (2x)lg (2x)f(x)，f(x)为奇函数(3)设2x1x20又(2x1)(2x2)0，(2x1)(2x2)0，1，lg 0从而f(x1)f(x2)，故f(x)在(2,2)上为减函数对数函数性质的综合应用(1)常见的命题方式,对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最大(小)值以及不等式等问题综合命题，求解中通常会涉及对数运算.(2)解此类问题的基本思路,首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.3已知函数f(x)loga (x1)(a1)，若函数yg(x)图象上任意一点P关于
7、原点对称的点Q在函数f(x)的图象上(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当x0,1)时总有f(x)g(x)m成立，求m的取值范围解(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(x，y)是点P关于原点的对称点，Q(x，y)在f(x)的图象上，yloga(x1)，即yg(x)loga(1x)(2)f(x)g(x)m，即logam设F(x)logaloga，x0,1)，由题意知，只要F(x)minm即可F(x)在0,1)上是增函数，F(x)minF(0)0故m的取值范围为(，0解对数不等式(或方程)探究问题1对数函数的单调性，内容是什么？提示对数函数yloga x，当a1时，在(0，)上单调
8、递增，当0a0且a1，x0【例4】已知函数f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，其中(a0且a1)，设h(x)f(x)g(x)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由思路点拨根据对数函数的单调性求解即可，但应注意定义域的限制，在底不确定时应注意讨论解f(x)loga(1x)的定义域为x|x1，g(x)loga(1x)的定义域为x|x1x|x1x|1x1)，求f(x)的定义域解因为f(x)loga，所以0，即或所以1x1所以函数f(x)的定义域为(1,1)2(变设问)在本例条件下，若f(3)2，求使h(x)0成立的x的集合解f(3)loga(13)loga42，a2
9、h(x)log2(1x)log2(1x)，h(x)0等价于log2(1x)log2(1x)，解得1x0故使h(x)0成立的x的集合为x|1x01解对数不等式需考虑对数定义中的隐含条件：真数大于零，底数大于零且不等于1，再根据对数函数的单调性，把对数的不等式转化为真数的不等式，然后求交集即得原不等式的解集2当不等式中有两个变元时应分清主变元是谁1图象的左右平移是对自变量x作变化，和x前面的系数无关如ylg 2x图象向左平移3个单位得ylg 2(x3)的图象，而不是ylg (2x3)的图象，上下平移是对函数值y作变化2解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类
10、讨论思想在解决问题中的应用1已知函数yf(2x)的定义域为1,2，则函数yf(log2 x)的定义域为，16由题知x1,2时，2x，log2 x，x，16，yf(log2 x)的定义域为，162函数f(x)1log2 x与g(x)21x在同一直角坐标系下的图象大致是(填序号)ylog2 x的图象向上平移1个单位得到f(x)的图象，故f(x)必过点(1,1)，g(x)可由y2x的图象右移1个单位得到，故g(x)必过点(1,1)3函数y(logx)2(logx)5在区间2,4上的最大值与最小值的和是 2x4，则由ylogx在区间2,4上为减函数知，log 2log xlog 4，即2logx1若设
11、tlogx，则2t1，且yt2t5而yt2t5的图象的对称轴为t，且在区间上为减函数，而2，1，所以当t2，即x4时，此函数取得最大值，最大值为10；当t1，即x2时，此函数取得最小值，最小值为所以该函数最大值与最小值的和是4(1)已知函数f(x)(x1，xR)，试判断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)已知函数g(x)lg(x1，xR)()判断g(x)的奇偶性，并说明理由；()求证：对于任意的x ，yR，且x1 ，y1，xy1都有g(x)g(y)g(3)由(2)可知满足式的函数是存在的，如g(x)lg(x1，xR)问：满足的函数是否存在无穷多个？说明理由解(1)对任意的x1，x2(，1)
12、，且x1x2，f(x1)f(x2)，因为x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(，1)上单调递增，同理可得f(x)在区间(1，)上单调递增(2)()g(x)的定义域为(，1)(1,1)(1，)，对任意的x(，1)(1,1)(1，)，有x(，1)(1,1)(1，)，且g(x)g(x)lglglglg 10，所以g(x)为奇函数，又g(2)g(2)，所以g(x)不是偶函数()对于任意的x，yR，且x1，y1，xy1，因为g(x)g(y)lglglglg，glglglg所以gg(x)g(y)(3)设gk(x)klgkg(x)，则对于任意的x, yR，且x1 ，y1，xy1，都有即gk(x)满足，因为 k 有无穷多个，所以这样的gk(x)也有无穷多个
