1、试卷第 1页，总 11页漳州三中 2021 届高三年第一次月考数学试卷考试总分：150 分考试时间：120 分钟卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，1-8 为单选题，9-12 为多选题，每小题 5 分，共 60 分）1设集合045,20,2xxxBxxARU，则BA=（）A2,1B.4,0C,21,D.,40,2.命题“30,),0 xxx”的否定是（）A3,0,0 xxx B3,0,0 xxx C30000,0 xxxD30000,0 xxx3.某扇形的圆心角为60，所在圆的半径为6，则它的面积是（）A 2B3C6D94已知1sin()3，则3sin(2)2（）A79B 79C33
2、D335.若2.0log5.0a，2log5b，2.05.0c，则 a，b，c 的大小关系是()A.acbB.cabC.cbaD.bca6.已知函数 2ln xf xxx，则函数)(xfy 的大致图像为（）7已知 sin cos 43，(0,)4，则 sin cos 的值为()A 13B 13C23D238将()cos()|2f xx图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 6 个单位长度，所得函数图象关于2x对称，则 （）A512B3C 3D 512试卷第 2页，总 11页9已知函数 f(x)32 sin 2x12cos 2x.则下列判断正确的是()A关于
3、直线3x对称B关于直线6x对称C关于点0,12对称D关于点0,3对称10.已知函数 23,03,0 xx xf xf xx，以下结论正确的是（）A fx 在区间4,6 上是增函数B220204ffC若方程 1fxkx恰有 3 个实根，则 11,13k D若函数 yf xb在,6上有 6 个零点1,2,3,4,5,6ix i，则661iix11.已知0，函数)4sin()(xxf在,2上单调递减，则的取值可以是（）A 21B1C2D.4512已知函数3()xf xex，则以下结论正确的是（）A3x 是()f x 的极大值点B方程()1f x 有实数解C函数()yf x有且只有一个零点D存在实数
4、k，使得方程()f xkx有 4 个实数解卷（非选择题）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,其中第 15 题，第一空 2 分，第二空 3 分）13.cos27 cos57sin27 cos147 _.14已知函数xxxf2)(3，若,0)2()1(2 afaf，则实数 a 的取值范围是15.已知函数)sin(2)(xxf)2|,0(一部分图象如图所示，则_，函数 f(x)的单调递增区间为_16.已知函数()xef xx，22()(1)g xxa，若当0 x 时，存在1x，2xR，使得21()()f xg x成立，则实数 a 的取值范围是_.试卷第 3页，总 11页三、
5、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10 分)已知命题 p：函数)24lg(2xaxy的定义域为 R，命题 q：函数xay)2(是减函数.若 p 或q为真命题，p 且q为假命题，求实数 a 的取值范围.18.（12 分）已知函数2()sin()sin3cos2f xxxx(1)求 fx 的最小正周期和最大值；(2)求 fx 在2,63上的单调区间.19（12 分）已知41)3cos()6cos(，2,3(1)求2sin的值；(2)求tan1tan的值20.（12 分）已知函数3()sinf xxx，fx为()f x 的导函数.（1）求()f
6、 x 在0 x 处的切线方程；（2）求证：fx在,2 2 上有且仅有两个零点.试卷第 4页，总 11页21.（12 分）已知函数 2210g xaxaxb a 在区间2,3 上有最大值 4 和最小值 1，设 g xf xx.（1）求,a b 的值；（2）若不等式 220 xxfk在区间1,1上恒成立，求实数 k 的取值范围.22.（12 分）已知函数22()1 lnf xxa xax()aR.（1）当0a 时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a 且(0,1)x，求证：2()11xf xxex.试卷第 5页，总 11页1-8:BCCADADB9.AC10.BC11.ABD12.BCD13
7、.2314.21,115.2512k，12k(kZ)16.,ee10BC解：由题意可知当3x时，()f x 是以 3 为周期的函数，故()f x 在4，6上的单调性与()f x 在 2，0 上的单调性相同，而当0 x 时，239()()24f xx，()f x在 2，0 上不单调，故 A 错误；又(2020)(2)2ff，故(2)(2020)4ff，故 B 正确；若直线1ykx 经过点(3,0)，则13k ，若直线1ykx 与23(0)yxx x 相切，则消元可得：2(3)10 xk x，令0 可得2(3)40k，解得1k 或5k ，当1k 时，1x ，当5k 时，1x（舍)，故1k 若直线1
8、ykx 与()yf x在(0,3)上的图象相切，由对称性可得1k 因为方程()1f xkx 恰有 3 个实根，故直线1ykx 与()yf x的图象有 3 个交点，113k 或1k，故 C 正确作出()yf x的函数图象如图所示：由于()yf xb在(,6)上有 6 个零点，故直线 yb与()yf x在(,6)上有 6 个交点，不妨设1iixx，1i，2，3，4，5，由图象可知1x，2x 关于直线32x 对称，3x，4x 关于直线32x 对称，5x，6x 关于直线92x 对称，试卷第 6页，总 11页613392229222iix，故 D 不正确；12BCD【解析】23)()xfxxxe，令2(
9、3)0()xfxe xx 解得3x 所以3()xf xex在(,3)单减，在(3+)，单增，且(0)0f作出函数图象，则()f x 在3x 取得极小值，无极大值，故 A 错误;因为极小值3(3)271fe ，方程()1f x 有实数解，故 B 正确；因为0 x 时，()0f x，因为0 x 时，()0f x，只有(0)0f，故 C 正确；由图象可得正确.(也可由3xkxex，得0 x 或2xke x，令2()xh xe x，求导()(2)0 xh xe x x，则 20 x，故2()xh xe x在(2,0)上单减，在(,2)和(0,+)上单增，由图知存在实数 k，使得2xke x有三个实根，
10、故存在实数 k，使得方程()f xkx有 4 个实数解)故选：BCD【点睛】本题考查了函数的图象、函数的单调性和函数的零点问题以及导数的应用问题，还考查了分类讨论、数形结合和转化与化归的数学思想.16,ee【详解】由题意：存在1x，2xR，使得21()()f xg x成立，等价于minmax()()f xg x.因为22()(1)g xxa，0 x，所以当1x 时，2max()g xa.试卷第 7页，总 11页因为()xef xx，0 x，所以22(1)()xxxexeexfxxx.所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以min()(1)f xfe.又2max()g
11、xa，所以2aeae 或 ae.故实数 a 的取值范围是,ee.故答案为：,ee【点睛】本题考查不等式恒成立问题，函数的最值问题，是中档题.17解：若 p 真，则0242 xax在 R 上恒成立，所以00a08160aa2a2 分若 q 真，则12 a1a，4 分因为 p 或 q 为真，p 且 q 为假，所以 p 与 q 一真一假5 分若 p 真 q 假，则有12aa 无解7 分若 p 假 q 真，则有12aa21 a9 分综上知，实数 a 的取值范围是2,110 分18.解：（1）函数23()sin()sin3 coscos sin(1cos2)22f xxxxxxx1333sin 2cos
12、2sin(2)22232xxx，即 3sin(2)32fxx故函数的周期为22T，最大值为312（2）当2,63x时，20,3x，故当2320 x时，即5,6 12x时，()f x 为增函数；当322x时，即52,123x时，()f x 为减函数；即函数 fx 在5,6 12上单调递增；在 52,123 上单调递减19解：(1)cos6 cos3 cos6 sin6 12sin 23 14，试卷第 8页，总 11页即 sin 23 12.3，2，23，43，cos 23 32，sin 2sin23 3sin 23 cos3cos 23 sin31212 32 32 12.(2)3，2，223，
13、又由(1)知 sin 212，cos 2 32.tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 22 32122 3.20.解:（1）2cos3,fxxx 01f，又 00f，所以切点为0,0.故 fx 在0 x 处的切线方程为 yx；（2）2()cos3,fxxx因为()fx为偶函数，且 01f，则只需证明 fx在 0,2上有且仅有一个零点即可.sin6fxxx，当0,2x时 0fx，故()fx在 0,2上单调递减，试卷第 9页，总 11页因为 010f ，23022f ，由零点存在定理，可知存在00,2x使得00fx，所以 fx在 0,
14、2上有且仅有一个零点，因此 fx在,2 2 上有且仅有两个零点.【点睛】本题考查通过导数的几何意义，求函数图像上在一点的切线，利用导数研究函数的单调性和零点，零点存在定理，属于中档题.21.解:（1）2g xa x11ba，因为 a0，所以 g x 在区间2 3，上是增函数，故 2134gg，解得10ab（2）由已知可得 12f xxx，所以 20 xfkx可化为12222xxxk，化为2111+222 xxk（），令12xt，则221ktt，因1,1 x，故1,22 t，记 221h ttt，因为1,22 t，故 0minh t，所以 k 的取值范围是,0【点睛】(1)本题主要考查二次函数的
15、图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222 xxk（），其二是换元得到221ktt，1,22 t.22.（1）函数 fx 的定义域为0,2222111212axaxa xaxfxa xaxxx 试卷第 10页，总 11页若0a 时，则 0fx，fx 在0,上单调递减；若0a 时，当1xa时，0fx当10 xa时，0fx；当1xa时，0fx故在10,a上，fx 单调递减；在 1,a上，fx 单调递増（2）若0a 且0,1x，欲证 211xf xxex只需证21 ln11xxxex即证 31 ln1
16、xxxxxe设函数 1 lng xxx，0,1x，则 lngxx 当0,1x时，0gx；故函数 g x 在0,1 上单调递增所以 11g xg设函数 31xh xxxe，则 2323xh xxxxe设函数 2323p xxxx，则 21 63pxxx 当0,1x时，0180pp 故存在00,1x，使得00p x从而函数 p x 在00,x上单调递增；在0,1x上单调递减当00,xx时，002p xp当0 1xx，时，010p xp故存在10,1x，使得 10h x即当10,xx时，0p x，当11xx，时，0p x 从而函数 h x 在10,x上单调递增；在11x，上单调递减因为 01,1hhe故当0,1x时，01h xh试卷第 11页，总 11页所以 31 ln1,0,1xxxxxex即 211,0,1xf xxxex【点睛】本题考查讨论含参数函数单调性、恒成立问题的证明.关键在于能够将恒成立的不等式变成两个函数之间的比较；对于两个函数之间大小关系的比较，通常采用最值间的比较，通过证明 maxming xh x，得到 g xh x的结论.