1、高考资源网（） 您身边的高考专家结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的xD，都有f(x)f(x)0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)maxf(x)min0，且若0D，则f(0)0.【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)af(x)bg(x)2在区间 (0，)上有最大值5，那么h(x)在(，0)上的最小值为()A5B3C1 D5(2)(2019郑州模拟)已知函数f(x)log3(x)在k，k，(k0)上的最大值与最小值分别为M和m，则Mm()A4 B2C1 D0(1)C(2)B(1)令F(x)h(x)2af(x)bg(x)
2、，所以F(x)为奇函数，x(0，)时，h(x)5, F(x)h(x)23.又x(，0)时，x(0，)，F(x)3F(x)3，h(x)321，故选C.(2)已知f(x)log3(x)，则f(x)log3(x)，则f(x)f(x)2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，令g(x)f(x)1，则g(x)g(x)f(x)1f(x)10，则g(x)在定义域内为奇函数设g(x)的最大值为t，则最小值为t，则f(x)的最大值为Mt1，最小值为mt1，则Mm2，故选B.【链接高考1】(2012新课标全国)设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm_.2显然函数f(x)的定义域为R，f(x)1，设g(x)
3、，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)maxg(x)min0，Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.结论2抽象函数的周期性与对称性1函数的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T2a.(2)如果f(xa)(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T2a.2函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数(1)若f(ax)f(bx)恒成立，则yf(x)的图象关于直线x对称，特别地，若f(ax)f(ax)
4、恒成立，则yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)0，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称【典例2】(1)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x2，则f(2 019)()A2 0192 B1C0 D1(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)(x1)31，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x2 019，y2 019)，则 (xiyi)_.(1)D(2)4 038(1)根据题意，函数f(x)满足f(x2)f(x)，则有f(x4)
5、f(x2)f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 019)f(12 020)f(1)，又由函数为奇函数，则f(1)f(1)1，则f(2 019)1，故选D.(2)由g(x)(x1)31知g(x)g(2x)2，得函数yg(x)的图象关于点(1,1)对称又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1x2 019x2x2 018x3x2 0172x1 0102，y1y2 019y2y2 018y3y2 0172y1 0102，故x1x2x2 018x2 0192 019，y1y2y2 018y2 0182 019，即 (xiy
6、i)4 038.【链接高考2】(2014大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x2)为偶函数，且f(1)1，则f(8)f(9)()A2 B1 C0 D1D由f(x2)是偶函数可得f(x2)f(x2)，又由f(x)是奇函数得f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)f(81)f(1)1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，所以f(8)f(0)0，故f(8)f(9)1.结论3两个经典不等式(1)对数形式：1，当且仅当x0时，等号成立. (2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号
7、成立.【典例3】设函数f(x)1ex，证明：当x1时，f(x).证明当x1时，f(x)当且仅当exx1.令g(x)exx1，则g(x)ex1.当x0时g(x)0，g(x)在(，0是减函数；当x0时g(x)0，g(x)在0，)是增函数于是函数g(x)在x0处达到最小值，因而当xR时，g(x)g(0)，即exx1.所以当x1时，f(x).【链接高考3】(2012全国卷)已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()B由题意得f(x)的定义域为x|x1且x0，所以排除选项D.令g(x)ln(x1)x，则由不等式ln(x1)x知，g(x)0恒成立，故f(x)0恒成立，所以排除A，C，故选B.结论4三点
8、共线的充要条件及其结论推广(1)设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点D与A，B共线的充要条件是存在实数与，使得，且1.(2)等和线的证明若，且xy，那么xy，如图1所示. 过点C作直线lAB，在l上任作一点C，连接OCABD，如图2所示 图1图2同理可得，以，为基底时，对应的系数和依然为.【典例4】在梯形ABCD中，已知ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则_.法一：(常规解法)如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT，T，M，N三点共线，1，.法二：(等和线定理法) 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得ABAT，又，结合等和线定理得
9、 .【链接高考4】(2017全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3 B2C. D2A建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0，y0)，则(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos ，y01sin .两式相加，得1sin 1cos 2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.故选A.结论5数列的相关结论(1)若等差数列an的项数为
10、偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2mm(amam1)，S偶S奇md，.(2)若等差数列an的项数为奇数2m1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m1(2m1)am，S奇S偶am，.(3)公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).(4)若等比数列的项数为2n(nN*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶qS奇.)【典例5】(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B.C. D3(2)等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1a0，S2m138，则m_.(1)B(2)
11、10由已知3，得S63S3，因为S3，S6S3，S9S6也为等比数列，所以(S6S3)2S3(S9S6)，则(2S3)2S3(S93S3)化简得S97S3，从而.(2)由公式am1am1a0得2ama0，解得am0或2.又S2m1(2m1)am38.显然可得am0，所以am2.代入上式可得2m119，解得m10.【链接高考5】(2013全国卷)设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm13，则m()A3 B4C5 D6CSm12，Sm0，Sm13，amSmSm12，am1Sm1Sm3，公差dam1am1，由公式Snna1dna1，得由得a1，代入可得m5.结论6多面体的外接球和内
12、切球(1)长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2a2b2c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2a2b2c2.,(2)棱长为a的正四面体内切球半径r，外接球半径R.【典例6】(2019贵州联考)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16，则该三棱柱的侧棱长为()A. B2C4 D3A由于直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形把直三棱柱ABCA1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为.【链接高
13、考6】(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A12 B.C8 D4A设正方体棱长为a，则a38，所以a2.所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4()212，故选A.结论7圆锥曲线的中点弦问题1在椭圆E：1(ab0)中：(1)如图1所示，若直线ykx(k0)与椭圆E交于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线l，l，有ll，设其斜率为k0，则k0k.(2)如图2所示，若直线ykx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1k2.(3)如图3所示，若直线ykxm(k0且
14、m0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0k.图1图2 图32在双曲线E：1(a0，b0)中，类比上述结论有：(1)k0k.(2)k1k2.(3)k0k.【典例7】一题多解(2019武汉4月模拟)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|()A2 B2C3 D4D法一：由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y2k(x4)，即yk(x4)2，由消去y得(12k2)x2(16k28k)x32k232k100，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1
15、x2，x1x2，因为P(4,2)为AB的中点，所以8，解得k1，满足0，所以x1x28，x1x210，所以|AB|4，故选D.法二：由已知可得点P的位置如法一中图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，则AB的方程为y2k(x4)，即yk(x4)2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)，因为P(4,2)为AB的中点，所以k1，所以AB的方程为yx2，由消去y得x28x100，所以x1x28，x1x210，所以|AB|4，故选D.【链接高考7】(2018全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，
16、m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：2|.证明(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0)焦点的弦过抛物线y 22px(p0)焦点的弦AB有：(1)xAxB(2)yAyBp2.(3)|AB|xAxBp(是直线AB的倾斜角).【典例8】过抛物线y24x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，
17、则|AB|等于()A4 B.C5 D6B由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，所以cos ，所以tan 2.则sin2 8cos2 ，sin2 .又y24x，知2p4，故利用弦长公式|AB|.【链接高考8】一题多解(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.D由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y，即4x4y30.法一：联立抛物线方程化简得4y212y90，故|yAyB|6.因此SOAB|OF|yAyB|6.法二：联立方程得x2x0，故xAxB.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp12，同时原点到直线AB的距离为h，因此SOAB|AB|h.高考资源网版权所有，侵权必究！