1、第三节等比数列考情展望1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用一、等比数列证明an是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若q(q为非零常数且n2且nN*)，则an是等比数列(2)中项公式法：在数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列二、等比数列的性质1对任意的正整数m、n、p、q，若mnpq2k，则amanapaqa.2通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)3公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，
2、则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为1时，Sn，S2nSn，S3nS2n不一定构成等比数列4若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍是等比数列等比数列的单调性单调递增a10，q1或者a10,0q1单调递减a10,0q1或者a10，q1常数数列a10，q1摆动数列q01已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()AB2C2D.【解析】由题意知：q3，q.【答案】D2设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()A11 B8 C5 D11【解析】8a2a50，得8a2a2q3，又a20，q2，则S511a1，S2a1，11.
3、【答案】A3公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a1116，则log2a10()A4 B5 C6 D7【解析】由题意aa3a1116，且a70，a74，a10a7q342325，从而log2a105.【答案】B4在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.【解析】S321，q4，21，a11，an4n1.【答案】4n15(2013大纲全国卷)已知数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于()A6(1310) B.(1310)C3(1310) D3(1310)【解析】由3an1an0，得，故数列an是公比q的等比数列又a2，可得a14.所以
4、S103(1310). 【答案】C6(2013江西高考)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0C12 D24【解析】由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第四项为24.【答案】A考向一 090等比数列的基本运算(1)(2013北京高考)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.(2)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列求an的公比q；若a1a33，求Sn.【思路点拨】建立关于a1与公比q的方程，求出基本量a1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式
5、【尝试解答】(1)设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n项和公式求Sn.设等比数例an的首项为a1，公比为q，则：由a2a420得a1q(1q2)20.由a3a540得a1q2(1q2)40.由解得q2，a12.故Sn2n12.【答案】2,2n12(2)S1，S3，S2成等差数列，a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0，又q0，从而q.由已知可得a1a1()23，故a14，从而Sn.规律方法11.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用.2.在使
6、用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算.对点训练(1)(2012辽宁高考)已知等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，则数列an的通项公式an_.(2)(2014晋州模拟)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且a2，a4，a8成等比数列求数列an的通项公式；求数列3an的前n项和【解析】(1)设数列an的首项为a1，公比为q，aa10,2(anan2)5an1.由得a1q；由知q2或q，又数列an为递增数列，a1q2，从而an2n.【答案】2n(2)设数列an的公差为d(d0)，由题意得aa2
7、a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)又a12，所以d2或d0(舍去)an2n.由可知3an32n9n.故数列3an的前n项和为(9n1)考向二 091等比数列的判定与证明(2014荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列【思路点拨】正确设出等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列bn的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问【尝试解答】(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad
8、15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d,10,18d.依题意，(7d)(18d)100，解之得d2或d13(舍去)，b35，公比q2，因此b1.故bn2n152n3.(2)证明由(1)知b1，公比q2，Sn52n2，则Sn52n2，因此S1，2(n2)数列Sn是以为首项，公比为2的等比数列规律方法21.本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d)的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算.2.要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可.对点训练(1)在正项数列an中，a12，点(，)(n2)在直线xy0上，则数列an的前n项和
9、Sn_.(2)数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1，求证：数列cn是等比数列，并求an的通项公式【解析】(1)由题意知0，an2an1(n2)，数列an是首项为2，公比为2的等比数列Sn2n12.【答案】2n12(2)证明anSnn，a1S11，得a1，c1a11.又an1Sn1n1，anSnn，2an1an1，即2(an11)an1.又a11，即，数列cn是以为首项，以为公比的等比数列则cnn1n，an的通项公式ancn11n.考向三 092等比数列的性质及应用(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3等于()A12B23C34D13(2)(2014衡水模
10、拟)在等比数列an中，若a7a8a9a10，a8a9，则_.【思路点拨】(1)借助S3，S6S3，S9S6成等比求解(2)应用等比数列的性质a7a10a8a9求解【尝试解答】(1)由等比数列的性质：S3、S6S3、S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将S6S3代入得.(2)法一a7a8a9a10，a8a9a7a10，.法二由题意可知得，即，所以.【答案】(1)C(2)规律方法3在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.对点训练(1)(2012课标全国卷)已知an为等比数列，a4a72，
11、a5a68，则a1a10()A7B5C5D7(2)(2014大连模拟)已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2 Cn2 D(n1)2【解析】(1)由于a5a6a4a78，a4a72，a4，a7是方程x22x80的两根，解之得a44，a72或a42，a74.q3或q32.当q3时，a1a10a7q34(2)(2)()7，当q32时，a1a10a7q34(2)7.(2)a5a2n5a22n，且an0，an2n，a2n122n1，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n11
12、35(2n1)n2.【答案】(1)D(2)C 思想方法之十三分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行在数列的学习中，也有多处知识涉及到分类讨论思想 ，具体如下所示：(1)前n项和Sn与其通项an的关系：an(2)等比数列的公比q是否为1；(3)在利用公式Sn求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解1个示范例1个对点练(2013天津高考)已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2
13、)设TnSn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值【解】(1)设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，于是q2.又an不是递减数列且a1，所以q.故等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)由(1)得Sn1n当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1SnS1，故0SnS1.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以S2Sn1，故0SnS2.所以数列Tn最大项的值为，最小项的值为.(2014青岛模拟)已知数列dn满足dnn，等比数列an为递增数列，且aa10,2(anan2)5an1，nN*.(1)求
14、an；(2)令cn1(1)nan，不等式ck2014(1k100，kN*)的解集为M，求所有dkak(kM)的和【解】(1)设an的首项为a1，公比为q，所以(a1q4)2a1q9，解得a1q，又因为2(anan2)5an1，所以2(ananq2)5anq，则2(1q2)5q,2q25q20，解得q(舍)或q2，所以an22n12n.(2)cn1(1)nan1(2)n，dnn，当n为偶数，cn12n2 014，即2n2 013，不成立；当n为奇数，cn12n2 014，即2n2 013，因为2101 024,2112 048，所以n2m1,5m49，则dk组成首项为11，公差为2的等差数列，ak(kM)组成首项为211，公比为4的等比数列，则所有dkak(kM)的和为2 475.
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