1、专题突破练12求数列的通项及前n项和1.(2021湖南长郡中学月考)已知等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和Tn.2.(2021山东威海期末)已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3=8,S5=2a7.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=ancos n+2n+1,求数列bn的前2n项和T2n.3.(2021东北三省四市联考)已知等差数列an的前n项和为Sn,S5=25,且a3-1,a4+1,a7+3成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若
2、bn=(-1)nan+1,Tn是数列bn的前n项和,求T2n.4.(2021陕西西安铁一中月考)已知数列an是公差不为0的等差数列,且a2=3,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn为数列an+2的前n项和,bn=,求数列bn的前n项和Tn.5.(2021广东揭阳检测)已知等差数列an与正项等比数列bn满足a1=b1=3,且b3-a3,20,a5+b2既是等差数列,又是等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)在cn=+(-1)nbn,cn=anbn,cn=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成求解.若,求数列cn的前n项和Sn.6.(2021山东
3、菏泽一模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2,数列bn满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列,求数列bncn的前n项和Tn.7.(2021广东广州检测)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+3n+1.(1)求证:数列是等差数列;(2)求数列an的通项公式;(3)设数列an的前n项和为Sn,求证:.专题突破练12求数列的通项及前n项和1.解 (1)设等比数列an的公比为q(q0),由=9a2a6,得=9,所以q2=,所以q=由2a1+3a2=1,得2a
4、1+3a1=1,所以a1=故数列an的通项公式为an=(2)因为bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-,所以=-=-2所以Tn=+=-2+=-所以数列的前n项和Tn=-2.解 (1)设an的公差为d,依题意,解得所以an=2+3(n-1)=3n-1.(2)因为bn=ancos n+2n+1=(-1)nan+2n+1=(-1)n(3n-1)+2n+1,所以T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+(a2n-a2n-1)+(22+23+22n+1)=3n+=3n+22n+2-4.3.解 (1)由题意可知S5=5a3=25,所以a3=5.设等差数列an的公差为d,由a3-
5、1,a4+1,a7+3成等比数列,可得(6+d)2=4(8+4d),整理得d2-4d+4=0,解得d=2.所以an=a3+(n-3)d=2n-1.(2)因为bn=(-1)nan+1=(-1)n(2n-1)+1,所以T2n=(-1+1)+(3+1)+(-5+1)+(7+1)+-(4n-3)+1+(4n-1+1)=4n.4.解 (1)设等差数列an的公差为d(d0),则由题意,可知解得an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)得an+2=2n+1,Sn=(a1+2)+(a2+2)+(a3+2)+(an-1+2)+(an+2)=3+5+7+(2n-1)+(2n+1)=n2+2n.bn=Tn=b
6、1+b2+b3+bn-1+bn=+=5.解 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q(q0),由已知得20=b3-a3=a5+b2,即20=3q2-(3+2d),20=(3+4d)+3q,解得d=2,q=3,所以an=2n+1,bn=3n.(2)若选择,则cn=+(-1)nbn=+(-3)n=+(-3)n,所以Sn=c1+c2+cn=+(-3)1+(-3)2+(-3)n=若选择,则cn=anbn=(2n+1)3n,所以Sn=c1+c2+cn=33+532+(2n+1)3n,3Sn=332+533+(2n+1)3n+1,两式相减得-2Sn=32+232+233+23n-(2n+1)
7、3n+1=-2n3n+1,所以Sn=n3n+1.若选择,则cn=,所以Sn=c1+c2+cn=+6.解 (1)设等比数列an的公比为q,由an+1=2Sn+2,可得an=2Sn-1+2(n2),两式相减得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,整理得an+1=3an,可知q=3.令n=1,则a2=2a1+2,即3a1=2a1+2,解得a1=2.故an=23n-1.由b1=2,(n+2)bn=nbn+1,得,则当n2时,bn=b1=2=n(n+1).又b1=2满足上式,所以bn=n(n+1).(2)若在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列,则an+1-an
8、=(n+1)cn,即23n-23n-1=(n+1)cn,整理得cn=,所以bncn=4n3n-1,所以Tn=b1c1+b2c2+b3c3+bn-1cn-1+bncn=4130+4231+4332+4(n-1)3n-2+4n3n-1=4130+231+332+(n-1)3n-2+n3n-1,3Tn=4131+232+(n-1)3n-1+n3n,两式相减得-2Tn=4(30+31+32+3n-1-n3n)=4=(2-4n)3n-2,所以Tn=(2n-1)3n+1.7.(1)证明 由an+1=3an+3n+1,得+1,即=1.又,所以数列是以为首项,1为公差的等差数列.(2)解 由(1)得+(n-1)1=n-,所以an=3n.(3)证明 由(2)得Sn=31+32+3n-1+3n,3Sn=32+33+(n-1)-3n+3n+1,两式相减得2Sn=3n+1-1=n-3n+1+,故Sn=3n+1+,从而
