1、第2课时函数最值的求法学 习 目 标核 心 素 养1.理解极值与最值的区别与联系(易混点)2会求函数在闭区间上的最值(重点)3能利用导数解决与函数最值相关的综合问题(难点)1.通过学习函数的最值概念，培养数学抽象素养2利用导数求函数的最值，提升逻辑推理、数学运算素养.如图，在闭区间a，b上的函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值问题1：f(x)的最大值和最小值分别是多少？问题2：你能指出最值与极值的关系吗？函数的最值(1)一般地，如果函数yf(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；(2)如果函数yf(x)的定义域为a，b且存在最
2、值，函数yf(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点拓展：求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念(2)闭区间a，b上的连续函数一定有最值开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值()
3、(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()(4)若函数在给定闭区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值D有最小值Af(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值3函数f(x)在区间2,4上的最小值为()A0 B. C. D.Cf(x)，当x2,4时，f(x)0，即函数f(x)在区间2,4上是单调递减函数，故当x4时，函数f(x)有最小值.4已知函数f(x)x33x
4、2m(x2,2)，f(x)的最小值为1，则m_.1f(x)3x26x，x2,2令f(x)0，得x0，或x2，当x(2,0)时，f(x)0，当x(0,2)时，f(x)0，当x0时，f(x)有极小值，也是最小值f(0)m1.求函数的最值角度一不含参数的函数最值【例1】求下列各函数的最值(1)f(x)3x39x5，x2,2；(2)f(x)sin 2xx，x.解(1)f(x)9x299(x1)(x1)，令f(x)0得x1或x1.当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)111111从表中可以看出，当x2或x1时，函数f(x)取得最小值1.
5、当x1或x2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f(x)2cos 2x1，令f(x)0，得cos 2x，又x，2x，2x.x.函数f(x)在上的两个极值分别为f，f.又f，f.比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.角度二含参数的函数最值【例2】a为常数，求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值. 解f(x)3x23a3(x2a)若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减，所以当x0时，有最大值f(0)0.若a0，则令f(x)0，解得x.x0,1，则只考虑x的情况(1)若01，即0a1，则当x时，f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)0
6、2a3a1(2)若1，即a1时，则当0x1时，f(x)0，函数f(x)在0,1上单调递增，当x1时，f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知，当a0，x0时，f(x)有最大值0；当0a1，x时，f(x)有最大值2a；当a1，x1时，f(x)有最大值3a1.1求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值2. 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0的三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能
7、等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值1已知a是实数，函数f(x)x2(xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)3x22ax.令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a.当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当02，即0a3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max综上所述，f(x)max已知函数的最值求参数【例3】已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值. 解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求
8、导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.(2)当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程
9、(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.2若函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_1f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)，0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)0)，当xt时，f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成
10、立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m0.m的取值范围为(1，)1(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t0,2，使h(t)2tm成立”，则实数m的取值范围如何求解？解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去)当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m极大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m，存在t0,2，使h(t)2tm成立，等价于g(t)的最小值g(2)0.3m3，所以实数m的取值范围为(3，)2(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1，t2(0,
11、2)，都有h(t1)2t2m”，求实数m的取值范围解h(t)t3t1，t(0,2)，h(t)3t21.由h(t)0，得t或t(舍)又当0t时，h(t)0，当t2时，h(t)0.当t时，h(t)max1.令(t)2tm，t(0,2)，(t)minm4.由题意可知m4，即m3.实数m的取值范围为.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值2已知最值求参数，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题1下列结论正确的是()A若f(x)在a，b上有极大值，则极大值一定是a，b上的
12、最大值B若f(x)在a，b上有极小值，则极小值一定是a，b上的最小值C若f(x)在a，b上有极大值，则极小值一定是在xa和xb时取得D若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上存在最大值和最小值D函数f(x)在a，b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在a，b上一定存在最大值和最小值2函数yxsin x，x的最大值是()A1 B.1CD1C因为y1cos x，当x时，y0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.3函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值D既无最大值，也
13、无最小值 Df(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.4设函数f(x)x32x5，若对任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_令f(x)3x2x20，得x1或.又f(1)，f，f(1)，f(2)7，所以m.5已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37，求a的值，并求f(x)在2,2上的最大值. 解f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3.所以当x0时，f(x)取到最大值3.
