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2020-2021学年数学新教材人教B版选择性必修第三册教案:第6章 6-2 6-2-2 第2课时 函数最值的求法 WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:325782 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:10 大小:373KB
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资源描述

1、第2课时函数最值的求法学 习 目 标核 心 素 养1.理解极值与最值的区别与联系(易混点)2会求函数在闭区间上的最值(重点)3能利用导数解决与函数最值相关的综合问题(难点)1.通过学习函数的最值概念,培养数学抽象素养2利用导数求函数的最值,提升逻辑推理、数学运算素养.如图,在闭区间a,b上的函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值问题1:f(x)的最大值和最小值分别是多少?问题2:你能指出最值与极值的关系吗?函数的最值(1)一般地,如果函数yf(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个极值点;(2)如果函数yf(x)的定义域为a,b且存在最

2、值,函数yf(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b,要么是极值点拓展:求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)1思考辨析(正确的画“”,错误的画“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值()

3、(2)开区间上的单调连续函数无最值()(3)函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()(4)若函数在给定闭区间上有最值,则有且仅有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可有多个极值()答案(1)(2)(3)(4)2函数f(x)2xcos x在(,)上()A无最值B有极值C有最大值D有最小值Af(x)2sin x0恒成立,所以f(x)在(,)上单调递增,无极值,也无最值3函数f(x)在区间2,4上的最小值为()A0 B. C. D.Cf(x),当x2,4时,f(x)0,即函数f(x)在区间2,4上是单调递减函数,故当x4时,函数f(x)有最小值.4已知函数f(x)x33x

4、2m(x2,2),f(x)的最小值为1,则m_.1f(x)3x26x,x2,2令f(x)0,得x0,或x2,当x(2,0)时,f(x)0,当x(0,2)时,f(x)0,当x0时,f(x)有极小值,也是最小值f(0)m1.求函数的最值角度一不含参数的函数最值【例1】求下列各函数的最值(1)f(x)3x39x5,x2,2;(2)f(x)sin 2xx,x.解(1)f(x)9x299(x1)(x1),令f(x)0得x1或x1.当x变化时,f(x),f(x)变化情况如下表:x2(2,1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)111111从表中可以看出,当x2或x1时,函数f(x)取得最小值1.

5、当x1或x2时,函数f(x)取得最大值11.(2)f(x)2cos 2x1,令f(x)0,得cos 2x,又x,2x,2x.x.函数f(x)在上的两个极值分别为f,f.又f,f.比较以上函数值可得f(x)max,f(x)min.角度二含参数的函数最值【例2】a为常数,求函数f(x)x33ax(0x1)的最大值. 解f(x)3x23a3(x2a)若a0,则f(x)0,函数f(x)单调递减,所以当x0时,有最大值f(0)0.若a0,则令f(x)0,解得x.x0,1,则只考虑x的情况(1)若01,即0a1,则当x时,f(x)有最大值f()2a.(如下表所示)x0(0,)(,1)1f(x)0f(x)0

6、2a3a1(2)若1,即a1时,则当0x1时,f(x)0,函数f(x)在0,1上单调递增,当x1时,f(x)有最大值f(1)3a1.综上可知,当a0,x0时,f(x)有最大值0;当0a1,x时,f(x)有最大值2a;当a1,x1时,f(x)有最大值3a1.1求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值2. 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0的三种情况若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能

7、等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值1已知a是实数,函数f(x)x2(xa),求f(x)在区间0,2上的最大值解f(x)3x22ax.令f(x)0,解得x10,x2.当0,即a0时,f(x)在0,2上单调递增,从而f(x)maxf(2)84a.当2,即a3时,f(x)在0,2上单调递减,从而f(x)maxf(0)0.当02,即0a3时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,从而f(x)max综上所述,f(x)max已知函数的最值求参数【例3】已知函数f(x)ax36ax2b,x1,2的最大值为3,最小值为29,求a,b的值. 解由题设知a0,否则f(x)b为常函数,与题设矛盾求

8、导得f(x)3ax212ax3ax(x4),令f(x)0,得x10,x24(舍去)(1)当a0,且x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知,当x0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在1,2上的最大值,f(0)b3.又f(1)7a3,f(2)16a3f(1),f(2)16a329,解得a2.(2)当af(1),f(2)16a293,解得a2.综上可得,a2,b3或a2,b29.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程

9、(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.2若函数f(x)(a0)在1,)上的最大值为,则a的值为_1f(x),当x时,f(x)0,f(x)单调递减;当x0,f(x)单调递增;当x时,f(x),0)(1)求f(x)的最小值h(t);(2)若h(t)0),当xt时,f(x)取最小值f(t)t3t1,即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m,由g(t)3t230,得t1或t1(不合题意,舍去)当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表:t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值1mg(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m.h(t)2tm在(0,2)内恒成

10、立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立,即等价于1m0.m的取值范围为(1,)1(变条件)若将本例(2)的条件改为“存在t0,2,使h(t)2tm成立”,则实数m的取值范围如何求解?解令g(t)h(t)(2tm)t33t1m,由g(t)3t230,得t1或t1(不合题意,舍去)当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表:t0(0,1)1(1,2)2g(t)0g(t)1m极大值1m3mg(t)在0,2上有最小值g(2)3m,存在t0,2,使h(t)2tm成立,等价于g(t)的最小值g(2)0.3m3,所以实数m的取值范围为(3,)2(变条件)若将本例(2)的条件改为“对任意的t1,t2(0,

11、2),都有h(t1)2t2m”,求实数m的取值范围解h(t)t3t1,t(0,2),h(t)3t21.由h(t)0,得t或t(舍)又当0t时,h(t)0,当t2时,h(t)0.当t时,h(t)max1.令(t)2tm,t(0,2),(t)minm4.由题意可知m4,即m3.实数m的取值范围为.分离参数求解不等式恒成立问题的步骤1求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值2已知最值求参数,用参数表示最值时,应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题1下列结论正确的是()A若f(x)在a,b上有极大值,则极大值一定是a,b上的

12、最大值B若f(x)在a,b上有极小值,则极小值一定是a,b上的最小值C若f(x)在a,b上有极大值,则极小值一定是在xa和xb时取得D若f(x)在a,b上连续,则f(x)在a,b上存在最大值和最小值D函数f(x)在a,b上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,而在a,b上一定存在最大值和最小值2函数yxsin x,x的最大值是()A1 B.1CD1C因为y1cos x,当x时,y0,则函数在区间上为增函数,所以y的最大值为ymaxsin ,故选C.3函数f(x)x33x(|x|1)()A有最大值,但无最小值B有最大值,也有最小值C无最大值,但有最小值D既无最大值,也

13、无最小值 Df(x)3x233(x1)(x1),当x(1,1)时,f(x)0,所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.4设函数f(x)x32x5,若对任意x1,2,都有f(x)m,则实数m的取值范围是_令f(x)3x2x20,得x1或.又f(1),f,f(1),f(2)7,所以m.5已知函数f(x)2x36x2a在2,2上有最小值37,求a的值,并求f(x)在2,2上的最大值. 解f(x)6x212x6x(x2)令f(x)0,得x0或x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x2(2,0)0(0,2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时,f(x)min40a37,所以a3.所以当x0时,f(x)取到最大值3.

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