1、南宁三中2020届高三(考试四)理科数学试题一选择题1. 已知函数f(x)lg(1x)的定义域为M，函数g(x)的定义域为N，则MN（ ）A. x|x1B. x|x1且x0C. x|x1D. x|x0x|x1，Nx|x0，所以MNx|x1且x0.故选：D.【点睛】本题考查集合交集的运算，涉及函数定义域的求解，属综合基础题.2. 若，则（ ）A. B. 1C. D. 3【答案】B【解析】【分析】复数的共轭复数是，复数除法运算是将分母实数化，即【详解】，.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.3. 已知向量，若，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据题意求
2、出，然后再根据得出，最后通过计算得出结果.【详解】因，所以，又，所以，即，解得.故选：.【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算及向量垂直的相关性质，熟记运算法则即可，属于常考题型.4. 方程的解的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】将题意转化为的图象与的图象交点的个数即可得结果.【详解】，.而的图象如图，的图象与的图象总有两个交点，即方程解的个数是2，故选：B.【点睛】本题主要考查了方程根的问题，利用数形结合思想是解题的关键，属于基础题.5. 甲.乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度.跑步速度均
3、相同，则（）A. 甲先到教室B. 乙先到教室C. 两人同时到教室D. 谁先到教室不确定【答案】B【解析】【分析】设两人步行，跑步的速度分别为，（）图书馆到教室的路程为，再分别表示甲乙的时间，作商比较即可.【详解】设两人步行、跑步的速度分别为，（）图书馆到教室的路程为则甲所用的时间为：乙所用的时间，满足+，解得则1故乙先到教室故选B【点睛】本题考查了路程与速度、时间的关系、基本不等式的性质，属于基础题6. 设，则a，b，c三数的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】容易得出，ln31，从而得出a，b，c的大小顺序【详解】，lg3lg=；cba故选D【点睛】考查幂函数、
4、正弦函数和对数函数的单调性的应用，利用临界值判断数的大小是关键7. 若，是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义，结合线面、线线之间的位置关系即可判断.【详解】当，是两条不重合的直线，垂直于平面，若“”，则“”所以“”能推出“”；当，是两条不重合的直线，垂直于平面，若“”，则“”或“在平面内”所以“”不能推出“”；由充要条件的定义可得：若，是两条不重合的直线，垂直于平面，则“”是“”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查了线面、线线之间的
5、位置关系，考查了充分不必要条件的定义，属于基础题.8. 已知抛物线的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的定义求出直线的斜率得解.【详解】过点作于，因为，由抛物线的定义得，所以在中，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故选B.【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义，将线段的关系转化到角的关系，属于中档题.9. 下列函数中，以为周期且在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别计算出ABCD的周期，再判断是否在区间上单调递减即可【
6、详解】A: ，周期为，排除；B: ,不具有周期性，排除；C: ,周期为,在区间上单调递增，排除；D: ,周期为,在区间上单调递减故选D【点睛】本题考查三角函数的周期、单调区间，属于基础题10. 圆上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径，根据题意，圆心到的距离的范围为，从而得到关系式，利用得到关系，从而得到离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，圆，圆心，半径因为圆上有且仅有两点到的距离为1，所以圆心到的距离的范围为即，而所以，即故选C项.【点睛】本题考查圆上的点到直线的距
7、离，双曲线的渐近线，求双曲线的离心率，属于中档题.11. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出.【详解】由题意可得：，且，所以
8、，所以，故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.12. 已知定义在上的奇函数满足，当时，且，则（ ）A. B. C. 4D. 12【答案】B【解析】【分析】根据是奇函数，以及即可得出，即得出的周期为8，而根据（2）及时，即可求出，从而得出（3）（1），（4）（8），（5）（1），（6）（2），（7）（3），这样即可求出（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8），而，从而得出（1）（2）（3）【详解】，即函数是以8为周期的周期函数由，得，故，过程一：，或过程二：，故.【点睛】函数基本性质综合在高考题型中经常出现，此种题型只需记牢基础知识，个别题型可借鉴草图快速求解
9、考生若能掌握以下考点，可事半功倍函数周期性的常用结论：函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.二填空题13. 西游记三国演义水浒传红楼梦是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据题中条件，分别确定总的基本事件个数，以及取到红楼梦所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】4本名著选两本共有种，选取两本中含有红楼梦的共有种
10、，所以任取2种进行阅读，则取到红楼梦的概率为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.14. 已知，满足，则_【答案】-5【解析】【分析】将5代入函数，得到，将-5代入函数即可求出答案【详解】 【点睛】本题考查奇函数的相关性质，属于基础题15. 已知的内角、的对边分别为、，若，且的面积是，_.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数计算出的值，利用三角形的面积公式和条件可求出、的值，再利用余弦定理求出的值.【详解】，且的面积是，由余弦定理得，.故答案为【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了同角三角函数的基本关系、三角形面积公式的应用，考查运算求解能力，属于
11、中等题.16. 如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断： 直线与直线是异面直线；一定不垂直； 三棱锥的体积为定值； 的最小值为.其中正确的序号序号是_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断；利用线面垂直的判定与性质判断；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断；设BEx，列出AE+EC1关于x的函数式，结合其几何意义求出最小值判断【详解】如图，直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内不过C，直线AC与直线C1E是异面直线，故正确；当E与B重合时，AB1A1B，而C1B1A1B，A1B平面AB1C1，则A1E垂直
12、AC1，故错误；由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点，则AA1O的面积为定值，由BB1平面AA1C1C，E到平面AA1O的距离为定值，三棱锥EAA1O的体积为定值，故正确；设BEx，则B1E2x，AE+EC1由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为2，故正确故答案为【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题三解答题17. 国家放开二胎政策后，不少家庭开始生育二胎，随机调查110名性别不同且为独生子女的高中生，其中同意生二胎的高中生占随机调查人数的，统计情况如下表：
13、同意不同意合计男生20女生20合计110（l）求，的值（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为同意生二胎与性别有关?请说明理由.附：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1) ，；(2) 有99%的把握认为同意生二胎与性别有关.【解析】【分析】（1）根据题意计算列联表中数据x、y值；（2）由列联表中数据计算观测值，对照临界值得出结论【详解】（1）依题，；（2），查表可得，有99%的把握认为同意生二胎与性别有关.【点睛】本题考查了列联
14、表与独立性检验的应用问题，考查了理解与分析数据的能力，是基础题18. 已知数列为等比数列，其中，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件可得，然后解出即可；（2），然后可算出答案.【详解】（1）设数列的公比为，因为，所以.因为是和的等差中项，所以，即，化简得.因为公比，所以.所以.（2）因为，所以.所以，则.【点睛】本题考查的是等差、等比数列的基本运算和数列的求和，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.19. 如图1，在直角中，分别为，的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示.（1）求证：；（2）求平
15、面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件证明平面即可；（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.【详解】（1）证明：由条件可知，而为的中点，又平面平面，平面平面，且平面，平面，又因为平面，.（2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则，易知面的法向量为设平面的法向量为，则：，即令，则，设平面与平面所成锐二面角为，则.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，属于中档题.20. 函数.（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）求证：，时，.【答案】（1）（2）见解
16、析【解析】【分析】(1)利用函数在区间单调递增，则其导函数在此区间大于等于零恒成立可得；(2)由第（1）问的结论，取 时构造函数，得其单调性，从而不等式左右累加可得.【详解】（1）解：，在上为增函数，在上恒成立，即在上恒成立，的取值范围是.（2）证明：由（1）知时，在上为增函数，令，其中，则，则，即，即，累加得，.【点睛】本题关键在于构造出所需函数，得其单调性，累加可得，属于难度题21. 椭圆的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证
17、：以线段为直径的圆恒过定点.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，求出，设代入椭圆的方程有：，得到，再表示出直线，的斜率，得到直线的方程为：，求出，得出以为直径的圆的方程，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，离心率为，右焦点为，将代入，可得；又过椭圆右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，所以，联立解得：，所以椭圆的标准方程为；（2）证明：由（1）知，设直线的斜率为，则直线的方程为，联立得；设代入椭圆的方程有：整理得：，故，又，(，分别为直线，的斜率)所以，所以直线的方程为：，联立
18、得，所以以为直径圆的方程为：，令，解得：，所以以线段为直径的圆恒过定点.【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的定点问题，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.22. 将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（1） （t为参数）；（2） .【解析】试题分析：（1）设为圆上的点，在曲线C上任意取一点（x，y），再根据，由于点在圆上，求出C的方程，化为参数方程（2）解方程组求得 的坐标，可得线段 的中
19、点坐标再根据与l垂直的直线的斜率为 ，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据 可得所求的直线的极坐标方程（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为 （t为参数）.（2）由解得：，或.不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得，即.考点：1.参数方程化成普通方程；2.点的极坐标和直角坐标的互化23. 已知函数的最小值为M.（1）求M；（2）若正实数，满足，求：的最小值.【答案】（1）（2）3.【解析】【分析】将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值由（1）知，直接利用公式：平方平均数 算数平均数， 即可解出最小值【详解】（1）如图所示(2)由（1）知当且仅当，是值最小的最小值为3.【点睛】本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题.
