1、第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直 线在此平面内.公理2：过_的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 _过该点的公共直线.两点 不在一条直线上 有且只有一条 2.空间中线与线、线与面及面与面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 _ _ _ 交点个数 _个 _个 _个 ab a 0 0 0 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交关系 图形语言 符号语言 ab=A a=A =l交点个数 _个 _个 _个 1 1 无数 直线与直线 直线与平
2、面 平面与平面 独有关系 图形语言 符号语言 a,b是异面直线 a 交点个数 0个 无数个 3.公理4和等角定理(1)公理4：平行于_的两条直线互相平行用符 号表示：设a,b,c为三条直线，若ab,bc，则ac(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应_，那 么这两个角_ 同一条直线 平行 相等或互补 4.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线 aa,bb，把a与b所成的_叫做异 面直线所成的角(或夹角)(2)范围：_.锐角(或直角)(0,2判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a，就说平面,相交，并记
3、作 =a.()(2)两个平面,有一个公共点A，就说,相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面,有一个公共点A，就说,相交于A点，并记作 =A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(6)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()【解析】根据平面的性质公理3可知(1)对；对于(2)，其错误在于“任意”二字上；对于(3)，错误在于=A上；对于(4)，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，(5)正确；命题(6)中没有说清三个点是否共线，(6)不正确.答案：(1)(2)(3)(4)
4、(5)(6)1.有以下命题：若平面 与平面 相交，则它们只有有限个公共点；经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.其中，真命题的个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1【解析】选B.若平面与平面相交，则它们有无数个公共点，由公理1，2，3可知均正确.2.若三条不同的直线a，b，c满足ab,a，c异面，则b与c()(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线【解析】选C.ab，a,c异面，b与c相交或异面.3.下列命题：两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平
5、行；两条直线不异面，则这两条直线相交；分别在两个平面内的直线是异面直线；一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行.其中正确命题的个数为()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【解析】选A.两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线 平行、相交或异面，故错误；两条直线不异面，则相交或 平行，故错误；不同在任何一个平面内的两条直线是异面 直线，故错误；一条直线和一个平面内无数条直线没有公 共点，则这条直线和这个平面平行、相交或直线在平面内，故错误.4.下列命题中不正确的是_(填序号).没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面
6、直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面.【解析】没有公共点的两直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线a和b异面，ca,则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若cb，又ca，则ab，这与a,b异面矛盾，故c与b不可能平行；命题也正确，若c与两异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可确定一个平面，b,c也可确定一个平面，这样a,b,c共确定两个平面.答案：考向 1 平面的基本性质及其应用【典例1】(1)给出以下命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点
7、A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)(2013惠州模拟)如图，平面ABEF平面ABCD，四边 形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD 且BC=AD，BEAF且BE=AF，G，H分别为FA，FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？1212【思路点拨】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断.(2)证明BC，GH平行且相等即可；证明EFCH，由此构成平面，再证点D在该平面上【规范解答】(1)选B.假设
8、其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若A，B，C共线，则结论不正确.不正确.不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.(2)由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GHAD且GH=AD,又BCAD且BC=AD，故GHBC且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形 1212C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF且BE=AF，G是FA的中点知，BEGF且BE=GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EFBG.由知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面
9、.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.12【互动探究】本例第(2)题的条件不变，如何证明“FE，AB，DC交于一点”？【证明】由例题可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是 平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形，ECHF，且EC=DF，四边形ECDF为梯形 12FE，DC交于一点，设FEDC=M MFE，FE平面BAFE，M平面BAFE 同理M平面BADC 又平面BAFE平面BADC=BA，MBA，FE,AB,DC交于一点【拓展提升】1.证明三点共线的方法 证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在交线上，即三
10、点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得三点共线.2.证明三线共点的思路 证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题.通常是先证两条直线的交点在两个平面的交线上而第三条直线恰好是两个平面的交线.3.证明多点(线)共面的方法(1)证明几点共面，一般证明点与点连线相交或平行，从而证明其共面.(2)证明几线共面，一般先使其中两线确定一个平面，再证明其他直线在该平面内即可.【变式备选】如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：(1)E，C，D1，F四点共面.(2)C
11、E，D1F，DA三线共点.【证明】(1)如图，连接A1B，CD1.因为E是AB的中点，F是A1A的中点，则EFA1B.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1BD1C，所以EFD1C.故E，C，D1，F四点共面.(2)由(1)知，EFD1C且EF=D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE，D1F相交，设其交点为P，则PCE.又CE平面ABCD，所以P平面ABCD.同理，P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=AD，所以PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.12考向 2 空间中两直线的位置关系【典例2】（1）下列命题中正确的是()两条异面直线在同一平面内的射影必相交；与一条直
12、线成等角的两条直线必平行；与一条直线都垂直的两直线必平行；同时平行于一个平面的两直线必平行.（A）（B）（C）（D）以上都不对(2)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：AM和CN是否是异面直线？说明理由.D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.【思路点拨】(1)通过常见的正方体中的各棱、面的关系，判断出各个命题的真假.(2)由于MNAC，因此M，N，A，C四点共面，故AM与CN不异面.由图易判断D1B和CC1是异面直线，可用反证法证明.【规范解答】(1)选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中AA1与B1C1是 异面直线，AA1在面ABCD
13、中的射 影是点A，B1C1在面ABCD内的射 影是直线BC，故错；AB，AD 与AA1所成的角都是90，但AB，AD相交于A，故错；直线A1D1，A1B1都平行于面ABCD，但它们相交，故错，故选D.(2)不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，AC.M，N分别是A1B1，B1C1的中点，MNA1C1.又A1A C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.是异面直线.理由：ABCD-A1B1C1D1是正方体，B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1，B，C，C1，这与
14、B，C，C1，D1不共面矛盾.假设不成立，即D1B和CC1是异面直线.【拓展提升】判定直线位置关系的方法 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【提醒】在空间两直线的三种位置关系中，验证异面直线及其所成角是考查的热点.【变式训练】设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是_(填序号).若AC与BD共面，则AD与BC共面；若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；若AB=AC，DB=DC，则AD=BC；若AB=AC，DB=DC
15、，则ADBC.【解析】对于，由于点A，B，C，D共面，显然结论正确.对于，假设AD与BC共面，由正确得AC与BD共面，这与题设矛盾，故假设不成立，从而结论正确.对于，如图，当AB=AC，DB=DC，使二面 角A-BC-D的大小变化时，AD与BC不一定相 等，故不正确.对于，如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则由题设得BCAE，BCDE.根据线面垂直的判定定理得BC平面ADE，从而ADBC.答案：考向 3 异面直线所成的角【典例3】正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小.(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.【思路点拨】(1)平移A
16、1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算.(2)可将A1C1平移到AC，将EF平移到BD再求解.【规范解答】(1)如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1D所成的角.AB1=AC=B1C，B1CA=60，即AC与A1D所成的角为60.(2)如图所示，连接AC，BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1，E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFAC，EFA1C1，即A1C1与EF所成的角为90.【拓展提升】1.找异面直线所成的角的方法 一般有三种找法：利用图中已有的平行线
17、平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移 2.求异面直线所成角的三个步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线.(2)证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角.(3)算：通过解三角形，求出该角【变式训练】在三棱锥S-ACB中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，则SC与AB所成角的余弦值为_.【解析】如图，取BC的中点E，分别在平面ABC内作DEAB，在平面SBC内作EFSC,则异面直线SC与AB所成的角为FED(或其补角)，过F作FGAB，连接DG，DF，则DFG为直角 三角形.BC13 SB29，.由题知AC=2，可得 在DEF中，由余弦定理可得 答案：BC1
18、3SB29，175DEEF2DF22，222DEEFDF17cos DEF.2DE EF171717【满分指导】求异面直线所成角主观题的规范解答【典例】(12分)(2012上海高考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA底面ABCD，E 是PC的中点.已知AB=2，AD=，PA=2.求：(1)三角形PCD的面积.(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.2 2【思路点拨】【规范解答】(1)因为PA底面ABCD，所以PACD，又ADCD，所以CD平面PAD，从而CDPD.3分 因为 所以三角形PCD的面积为 6分 22PD2(2 2)2 3CD2，12 2 32 3.2 (2)取
19、PB的中点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线 BC与AE所成的角.8分 在AEF中，由 知AEF是等腰直 角三角形，所以 因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是 12分 EF2AF2AE2，AEF.4.4【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2013梅州模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()(A)3条 (B)4条 (C)6条 (D)8条【解析】选C.如图所示与AC1异面 的棱有BC，CD，BB1，DD1，A1B1，A1D1共6条.2.(2013广州模拟)下列命题中，错误的是()(A)一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一
20、个平面相交(B)平行于同一平面的两个不同平面平行(C)若直线l不平行于平面,则在平面 内不存在与l平行的直线(D)如果平面 不垂直于平面,那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 【解析】选C.显然A中命题正确，B中命题正确，D中命题,平面与不垂直，则平面与斜交或平行，则易知内一定不存在垂直平面的直线，即D中命题亦正确，而C中命题，若l,则在平面内显然存在与l平行的直线，故C中命题错误.3.(2013江门模拟)如图是某个正方体的侧面展开图，l1,l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()(A)互相平行(B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为 (D)相交且夹角为 33【解析】选D.将侧面展开图
21、还原成正方体如图所示，则B，C两点重合，故l1与l2相交.连接AD，ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为 故选D.34.(2013珠海模拟)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()【解析】选D.在A图中分别连接PS，QR，易证PSQR，P，S，R，Q共面.在B图中过P，Q，R，S可作一正六边形，如图，故P，Q，R，S四点共面.在C图中分别连接PQ，RS，易证PQRS，P，Q，R，S共面.D图中PS与RQ为异面直线，P，Q，R，S四点不共面，故选D.5.(2013中山模拟)l1,l2,l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()(A)l1l2,
22、l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2，l2l3l1,l2,l3共面(D)l1，l2,l3共点l1，l2,l3共面【解析】选B.对于A：空间中垂直于 同一条直线的两条直线不一定平行，如图，故命题错误.对于B:由异面直 线所成的角可知，l2l3,则l1与l3所成的角与l1与l2所成的角相等，故l1l3,故命题正确.对于C:空间中三条互相平行的直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱不共面,故命题错误.对于D:空间中共点的三条直线不一定共面，如三棱锥中共顶点的三条棱所在直线不共面.1.如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的 棱DD1的中点，给出下列命题：过M点有且只有一条直
23、线与直线 AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线 AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行.其中真命题是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由于两相交直线可确定一个平面，设l过M点，与AB，B1C1均相交，则l与AB可确定平面，l与B1C1可确定平面，又AB与B1C1为异面直线，l为面与面的交线，如图所示.GE即为l，故正确.由于DD1过点M，DD1AB，DD1B1C1，BB1为AB，B1C1的公垂线，DD1BB1，故正确.显然正确.过M点有无数个平面与AB，B1C1都相交，故错误.2.如图，已知
24、几何体的三视图(单位：cm).(1)在这个几何体的直观图相应的位置标出字母A,B,C,D,A1,B1,C1,D1，P，Q.(2)求这个几何体的 表面积及体积.(3)设异面直线A1Q，PD所成角为,求 cos .【解析】(1)在几何体的直观图相应的位置标出字母如图所示.(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1=,A1D1=AD=2,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积 所求几何体的体积 22221S5 22 222(2)224 2(cm)2 ，3231V2(2)210(cm).2(3)连接QC，A1C.由PQCD,且PQ=CD,可知PDQC,故A1QC为异面直线A1Q，PD所成的角(或其补角).由题设知 取BC中点E，则QEBC,且 由余弦定理，得 所以异面直线A1Q，PD所成角的余弦值为 2222211111A QA BB Q2(2)6,A C322 3.22222QE3,QCQEEC3110.2221111A QQCA C6 10 1215coscos A QC.2A Q QC152 61015.15