1、第二节参数方程考纲传真1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程1曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y
2、的取值范围保持一致3常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量()(3)方程表示以点(0,1)
3、为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上B由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1,2)，在直线y2x上3(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为_xy10由x2t，且y1t，消去t，得xy1，即xy10.4在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为(c
4、os sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_(2，4)由(cos sin )2，得xy2.由消去t得y28x.联立得即交点坐标为(2，4)5(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长解椭圆C的普通方程为x21.2分将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，8分解得t10，t2，所以AB|t1t2|.10分参数方程与普通方程的互化已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)
5、若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，2分圆C的普通方程为x2y216.4分(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，8分解得2a2.10分规律方法1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数2把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形变式训练1在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，求常数a的值. 【导学号：31222440】解直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，4分
6、所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，则30a0，所以a3.10分参数方程的应用已知曲线C：1，直线l：(t为参数). 【导学号：31222441】(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.4分(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .8分当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|
7、PA|取得最小值，最小值为.10分规律方法1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题变式训练2(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|的值解(1)由消去，得圆C的普通方程为x2y216.2分又直线l过点P(1,2)且倾斜角，所以l的参数方程为即(t为参数).4分(2)把直线l的参数方程代入x2y
8、216，得2216，t2(2)t110，所以t1t211，8分由参数方程的几何意义，|PA|PB|t1t2|11.10分参数方程与极坐标方程的综合应用(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21，2分由于曲线C2的方程为sin2，所以sin cos 4，因此曲线C2的直角坐标方程为xy40.4分(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos
9、，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，8分又d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.10分规律方法1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程2数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，可化繁为简变式训练3(2017石家庄市质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4sin 2cos .(1)求直线l的普
10、通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA|PB|的值解(1)直线l的普通方程为xy30，24sin 2cos ，曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y2)25.4分(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x1)2(y2)25，得到t22t30，8分t1t23，|PA|PB|t1t2|3.10分思想与方法1参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2sin21,1tan2.2利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法3将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐
11、标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用易错与防范1将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性在消去参数的过程中，要注意x，y的取值范围2确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解3设过点M(x0，y0)的直线l交曲线C于A，B两点，若直线的参数方程为(t为参数)注意以下两个结论的应用：(1)|AB|t1t2|；(2)|MA|MB|t1t2|.课时分层训练(六十八)参数方程1在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为
12、极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为sinm(mR). 【导学号：31222442】(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2(y2)29.2分由sinm，得sin cos m0，所以直线l的直角坐标方程为xym0.4分(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，8分即2，解得m32.10分2极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为sin28cos . 【导学号：31222443】(1)求曲线C的
13、直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|.解(1)由sin28cos ，得2sin28cos ，故曲线C的直角坐标方程为y28x.4分(2)将直线l的方程化为标准形式6分代入y28x，并整理得3t216t640，t1t2，t1t2.8分所以|AB|t1t2|.10分3(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.4分(
14、2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是1212cos ，1211.8分|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.10分4(2014全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t).4分(2)
15、设D(1cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tan t，t.8分故D的直角坐标为，即.10分5(2017湖北七市三联)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin，曲线C2的极坐标方程为2acos(a0)(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(，)(0,02)；(2)若直线l与C2相切，求a的值解(1)曲线C1的普通方程为yx2，x，直线l的直角坐标方程为xy2，联立解得或(舍去)故直线l与曲线C1的交点的
16、直角坐标为(1,1)，其极坐标为.4分(2)曲线C2的直角坐标方程为x2y22ax2ay0，即(xa)2(ya)22a2(a0).8分由直线l与C2相切，得a，故a1.10分6(2017福州质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin.(1)求C的普通方程和l的倾斜角；(2)设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|PB|.解(1)由消去参数，得y21，即C的普通方程为y21.2分由sin，得sin cos 2，(*)将代入(*)，化简得yx2，所以直线l的倾斜角为.4分(2)由(1)知，点P(0,2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)，代入y21并化简，得5t218t270，(18)245271080，8分设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t20，t1t20，所以t10，t20，所以|PA|PB|t1|t2|(t1t2).10分