1、第2课时 导数与函数的极值、最值考点一 函数的极值问题 函数的极值是每年高考的热点，一般为中高档题，三种题型都有高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度：角度1 由图判断函数极值的情况【例1】函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()【解析】原函数先减再增，再减再增，且x0位于增区间内，故选D.【答案】D 角度 2 已知函数解析式求极值【例 2】(2019湖南省五市十校联考)已知函数 f(x)ln x12ax2x，aR.(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程(2)令 g(x)f(x)(ax1)，求函数 g(x)的极值【解析】(
2、1)当 a0 时，f(x)ln xx，则 f(1)1，所以切点为(1，1)，又 f(x)1x1，所以切线斜率 kf(1)2，故切线方程为 y12(x1)，即 2xy10.(2)g(x)f(x)(ax1)ln x12ax2(1a)x1，则 g(x)1xax(1a)ax2（1a）x1x，当 a0 时，因为 x0，所以 g(x)0.所以 g(x)在(0，)上是增函数，函数 g(x)无极值点 当 a0 时，g(x)ax2（1a）x1x ax1a（x1）x，令 g(x)0 得 x1a.所以当 x0，1a 时，g(x)0；当 x1a，时，g(x)0.因为 g(x)在0，1a 上是增函数，在1a，上是减函数
3、 所以 x1a时，g(x)有极大值 g1a ln 1aa2 1a2(1a)1a1 12aln a.综上，当 a0 时，函数 g(x)无极值；当 a0 时，函数 g(x)有极大值 12aln a，无极小值角度3 已知函数极值求参数值或范围【例3】(2018北京高考)设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a.(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围【解析】(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时 f(1)3
4、e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若 a12，则当 x1a，2 时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值 当 a12，则当 x(0，2)时，x20，ax112x10.所以 2 不是 f(x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是12，.【反思归纳】跟踪训练 1 已知函数 f(x)ln xax(aR)(1)当 a12时，求 f(x)的极值(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数【解析】(1)当 a12时，f(x)ln x12x，函数的定义域为(0，)且 f(x)1x122x2x，令 f(x)0，得 x2，于是当
5、x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表.x(0，2)2(2，)f(x)0 f(x)ln 21 故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)1xa1axx(x0)，当 a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，即函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当 a0 时，当 x0，1a 时，f(x)0，当 x1a，时，f(x)0，故函数在 x1a处有极大值 综上所述，当 a0 时，函数在定义域上无极值点，当 a0时，函数在 x1a处有一个极大值点 考点二 函数的最值问题 函数的最值也是高考命题的热点之一
6、，题型不限，难度为中高档，其常考的类型：一是求函数最值；二是已知函数最值求参数的取值范围，当然还有一类题目就是转化为函数的最值问题来研究 角度1 求不含参数的函数的最值【例4】(2019咸阳模拟)设函数f(x)ln xx2x.求函数f(x)的最值【解析】f(x)ln xx2x(x0)，所以 f(x)1x(2x1)2x2x1x（2x1）（x1）x(x0)，当 x(0，1)时，f(x)0，所以函数 f(x)单调递增；当 x(1，)时，f(x)0，求函数 f(x)在区间m，2m上的最大值【解析】(1)因为函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x)1ln xx2，由f（x）0，x0，得 0 xe；
7、由f（x）0，得 xe.所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)当2me，m0，即 0me2时，m，2m(0，e)，函数 f(x)在区间m，2m上单调递增，当 me2m，即e2me 时，(m，e)(0，e)，(e，2m)(e，)，函数 f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e，2m)上单调递减，所以 f(x)maxf(e)ln ee 11e1；当 me 时，(m，2m)(e，)，函数 f(x)在区间m，2m上单调递减，所以 f(x)maxf(m)ln mm 1.综上所述，当 0me2时，f(x)maxln 2m2m 1；当e2m0时，若f(x)在区间1，e上
8、的最小值为2，求a的取值范围【解析】(1)当 a1 时，f(x)x23xln x(x0)，所以 f(x)2x31x2x23x1x，所以 f(1)2，f(1)0.所以切线方程为 y2.(2)函数 f(x)ax2(a2)xln x 的定义域为(0，)，当 a0 时，f(x)2ax(a2)1x2ax2（a2）x1x（2x1）（ax1）x，令 f(x)0，解得 x12或 x1a.当 01a1，即 a1 时，f(x)在1，e上单调递增 所以 f(x)在1，e上的最小值为 f(1)2，符合题意；当 11ae，即1ea1 时，f(x)在1，1a 上单调递减，在1a，e上单调递增，所以 f(x)在1，e上的最
9、小值为 f1a f(1)2，不合题意；当1ae，即 0a1e时，f(x)在1，e上单调递减，所以 f(x)在1，e上的最小值为 f(e)f(1)2，不合题意；综上，实数 a 的取值范围是1，)【反思归纳】跟踪训练2 已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间(2)求f(x)在区间0，1上的最小值【解析】(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0 f(x)ek1 所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k11即k2时，f(x)在0，1上单调递减，故f(x)minf(1)(1k)e.当k10即k1时，f(x)在0，1上单调递增，故f(x)minf(0)k.当0k11即1k2时，f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1，1上单调递增，故f(x)minf(k1)ek1.综上，当k1时，f(x)在0，1上的最小值为f(0)k；当1k2时，f(x)在0，1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0，1上的最小值为f(1)(1k)e.课时作业
