1、高考仿真模拟卷(八) (时间：120分钟；满分：150分)第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合Mx|x0，Nx|ln x1，则下列结论正确的是()ANMBMNCM(RN)RDM(RN)M2设复数z满足2i，则()A.B.C.D.3若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a，b的夹角为()A.B.C.D.4若a，b都是实数，则“0”是“a2b20”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知tan(2)，tan(2)，则tan()()AB.C.D.6若x表示不超过x的最大整数，则下图的程序
2、框图运行之后输出的结果为()A49 850B49 900C49 800D49 9507已知an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和若a2a416，S37，则S4()A15B31C63D.8如图，己知函数f(x)的图象关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是()Af(x)x2ln|x|Bf(x)xln xCf(x)Df(x)9已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为()A3B4C5D610在三棱锥DABC中，已知AD平面ABC，且ABC为正三角形，ADAB，点O为三棱锥DABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为()A.B
3、.C.D.11已知P是双曲线y21上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的值是()AB.CD不确定12已知f(x)和g(x)是两个定义在区间M上的函数，若对任意的xM，存在常数x0M，使得f(x)f(x0)，g(x)g(x0)，且f(x0)g(x0)，则称f(x)与g(x)在区间M上是“相似函数”若f(x)2x2axb与g(x)x在上是“相似函数”，则函数f(x)在区间上的最大值为()A4B.C6D.题号123456789101112答案第卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.(2x)5的展开式中x2的系数是_(用数字作答)14已知等比数列an的前n项和为
4、Sn，满足a11，S33，则Sn_15古希腊的数学家研究过各种多边形数记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)n2n，四边形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)n2n，六边形数N(n，6)2n2n，可以推测N(n，k)(k3)的表达式，由此计算N(20，15)的值为_16已知点P在直线x3y20上，点Q在直线x3y60上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0x02，则的取值范围是_三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角B的大小；
5、(2)点D满足2，且AD3，求2ac的最大值18(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC90，ABCADC, PAAC2AB2，E是线段PC的中点(1)求证：DE平面PAB；(2)求二面角DCPB的余弦值19(本小题满分12分)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人(1)完成下面22列联
6、表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”？平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/h总计男性驾驶员女性驾驶员总计附：K2，其中nabcd.P(K2k0)0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布
7、列和数学期望E(X)20(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，且直线AB与抛物线y24x在第一象限的交点D到该抛物线的准线的距离为2，椭圆C的离心率 e.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线yxm与椭圆C交于M，N两点，直线yxm与椭圆C交于P，Q两点，求当四边形MPNQ的面积取最大值时m的值21(本小题满分12分)已知函数f(x)aln(1x)(aR)，g(x)x2emx(mR)(1)当a1时，求函数f(x)的最大值；(2)若a0，且对任意的x1，x20，2，f(x1)1g(x2)恒成立，求实数m的取值范围请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所
8、做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin ，0，2)(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数，tR)的距离最短，并求出点D的直角坐标23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|xa|x2a|.(1)当a1时，求不等式f(x)2的解集；(2)若对任意xR，不等式f(x)a23a3恒成立，求a的取值范围高考仿真模拟卷(八)1解析：选D.由ln x1，得0xe，所以Nx|0e，所以M(RN)x|x0M.2解析：选C.
9、由题意可得：1z(2i)(1i)3i，所以z2i，.3解析：选D.由题得2abb20，所以2|b|2cosa，b|b|20，所以cosa，b，所以a，b.故选D.4解析：选A.由0得ab0，则a2b2a2b20；由a2b20得a2b2，可得ab0或a0”是“a2b20”的充分不必要条件，故选A.5解析：选B.tan()tan(2)(2)，故选B.6解析：选A.由已知可得S040140240494050174085049 850.故选A.7解析：选A.因为数列an中各项均为正数，所以a34，设数列的公比为q，由S37，得S23，即a1(1q)3，又a3a1q24，所以(1q)3，解得q(舍去)或
10、q2，所以a4a3q8，所以S4S3a415. 故选A.8解析：选D.根据f(x)关于原点对称可知该函数为奇函数，对于A选项f(x)x2ln |x|f(x)，为偶函数，不符合；对于B选项定义域不对；对于C选项当x0的时候，f(x)0恒成立不符合该函数图象，故错误；对于D选项，f(x)f(x)，符合判定，故选D.9解析：选C.以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.所以D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，所以3(5，3a4x)，|3|225(3a4x)225，所以|3|的最小值为5.
11、故选C.10解析：选D.设三棱锥DABC的外接球球心为O，过点O作DB的垂线，垂足为H，作平面ODA交直线BC于点E，交于点F，设平面ODA截得外接球是O，D，A，F是O表面上的点，又因为DA平面ABC，所以DAF90，所以DF是O的直径，因此球心O在DF上，AF是三角形ABC外接圆的直径，连接BD，BF，因为BFDA，BFAB，所以BF平面DAB，所以DBF90，因为DHO90，所以OHBF，又DOOF，所以OH是DBF的中位线，OHBF，由ABAD，三角形外接圆半径2R，得AF2，在RtDAB中，DB，在RtDAF中，DF，在RtDBF中，BF1，故OH，故选D.11解析：选A.令点P(x
12、0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是y0，y0，所以可取|PA|，|PB|，又cos APBcos AOBcos 2AOxcos，所以|cosAPB.12解析：选C.由题意知g(x)1，令g(x)0可得1x2，令g(x)0可得2x，所以g(x)maxg(1)5，g(x)ming(2)4，所以g(x)x在上的最小值为4，最大值为5，对任意的xM，存在常数x0M，使得g(x)g(x0)，则g(x0)g(x)min4，此时x02，根据题意知f(x)minf(2)4，二次函数f(x)2x2axb的顶点坐标为(2，4)，所以a8，b12，所以f(x)2(x2)24，所以f(x)在上的最大值f(x)ma
13、xf(1)6.13解析：(2x)5展开式中，含x2的项为2C23x2C22x3(2C23C22)x2200x2，所以系数为200.故答案为200.答案：20014解析：由题当q1时，S33，解得(q2)(q1)0，得q2，此时Sn；当q1时，a11，S33，满足题意，则此时Snn.综上Sn或Snn.答案：或n15解析：原已知式子可化为N(n，3)n2nn2n；N(n，4)n2n2n；N(n，5)n2nn2n；N(n，6)2n2nn2n.故N(n，k)n2n，N(20，15)202202 490.答案：2 49016解析：线段PQ的中点M(x0，y0)的轨迹方程为x03y020，由y0x02，得
14、x02，则(0，)答案：(0，)17解：(1)，由正弦定理可得，所以c(ac)(ab)(ab)，即a2c2b2ac.又a2c2b22accos B，所以cos B，因为B(0，)，所以B.(2)法一：在ABD中，由余弦定理得c2(2a)222accos 32，所以(2ac)2932ac.因为2ac，所以(2ac)29(2ac)2，即(2ac)236，2ac6，当且仅当2ac，即a，c3时，2ac取得最大值，最大值为6.法二：在ABD中，由正弦定理知2，所以2a2sinBAD，c2sinADB，所以2ac2sinBAD2sinADB2(sinBADsinADB)266sin.因为BAD，所以BA
15、D，所以当BAD，即BAD时，2ac取得最大值，最大值为6.18解：(1)证明：法一：设线段AC的中点为O，连接OD，OE，OB.因为ABC90，所以BOAC1，同理DO1，又ABAD1，所以四边形ABOD是平行四边形，所以DOAB.又O，E分别是AC，PC的中点，所以OEPA.又PAABA，OD，OE平面ODE，ODOEO，所以平面ODE平面PAB.又DE平面ODE，所以DE平面PAB.法二：因为ABBC，PA平面ABCD，所以以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则B(0，0，0)，C(0，0)，P(1
16、，0，2)，D，A(1，0，0)，E，所以(1，0，1)，(1，0，2)，(1，0，0)设平面PAB的法向量为n(a，b，c)，则所以所以n(0，1，0)为平面PAB的一个法向量又n0，所以DE平面PAB.(2)由(1)法二中的空间直角坐标系，易知(0，0)，设平面PBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以所以n1(2，0，1)为平面PBC的一个法向量设平面DPC的法向量为n2(x2，y2，z2)，则，所以所以n2(1，1)为平面DPC的一个法向量所以cosn1，n2，故二面角DCPB的余弦值为.19解：(1)完成的22列联表如下：平均车速超过100 km/h平均车速不超过100 km/
17、h总计男性驾驶员401555女性驾驶员202545总计6040100K28.2497.879，所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A).(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为，故XB.所以P(X0)C；P(X1)C；P(X2)C；P(X3)C.所以X的分布列为X0123PE(X)0123.20解：(1)设点D
18、的坐标为(x0，y0)，由抛物线的几何性质可知x012，故x01，y02，所以D(1，2)又点D(1，2)在直线AB：1上，故1.设椭圆的左，右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，由离心率e，知，即，所以a2b.由可得a5，b，故椭圆C的标准方程为1.(2)由可得5x28mx4m2250.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(8m)245(4m225)0，故0m2，又x1x2，x1x2，则|MN| ； 同理可得|PQ| .由题意知MNPQ，故四边形MPNQ的面积为S|MN|PQ|(1254m2)，又0m2，所以当m0时，面积S取得最大值20.21解：(1)函数f(x)的定义域为(1，
19、)，当a1时，f(x)，所以当x(1，0)时，f(x)0，函数f(x)在(1，0)上单调递增，当x(0，)时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(x)maxf(0)0.(2)令(x)f(x)1，则“当a0时，对任意的x1，x20，2，f(x1)1g(x2)恒成立”等价于“当a0时，对任意的x0，2，(x)ming(x)max”由于(x)，故当a0时，对任意的x0，2，有(x)0，从而函数(x)在0，2上单调递增，所以(x)min(0)1.g(x)2xemxx2emxm(mx22x)emx.当m0时，g(x)x2，当x0，2时，g(x)maxg(2)4，显然不满足g(x)max
20、1.当m0时，令g(x)0得，x0或x.(i)当2，即1m0时，若x0，2，则g(x)0，所以g(x)在0，2上单调递增，所以g(x)maxg(2)4e2m，所以4e2m1，得mln 2，所以1mln 2.(ii)当02，即m1时，若x，则g(x)0，g(x)单调递增，若x，则g(x)0，g(x)单调递减，所以g(x)maxg，所以1，得m，所以m1.(iii)当0，即m0时，若x0，2，则g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)maxg(2)4e2m，4e2m1不成立综合所述，实数m的取值范围是(，ln 222解：(1)由 2sin ，0，2)，可得22sin .因为 2x2y2，sin
21、y，所以曲线C的直角坐标方程为x2y22y0(或x2(y1)21)(2)因为直线l的参数方程为(t为参数，tR)，消去t得直线l的普通方程为yx5.因为曲线C：x2(y1)21是以G(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：yx5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：yx5平行，即直线GD与l的斜率的乘积等于1，即()1.因为x(y01)21，由解得x0或x0，所以点D的直角坐标为或.由于点D到直线yx5的距离最短，所以点D的直角坐标为.23解：(1)当a1时，f(x)|x1|x2|.当x1时，f(x)1x2x32x，此时由f(x)2得x；当1x2时，f(x)x12x1，此时f(x)2无解；当x2时，f(x)x1x22x3，此时由f(x)2得x.综上可得不等式f(x)2的解集为.(2)因为f(x)|xa|x2a|(xa)(x2a)|a|，故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等价于|a|a23a3.当a0时，有aa23a3，即a24a30，解得2a2，此时有0a2.当a0时，有aa23a3，即a22a30，解得1a3，此时有1a0.综上可知a的取值范围是1，2
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