1、第八章立体几何第39课 平面的基本性质与空间两条直线的位置关系最新考纲内容要求ABC平面及其基本性质1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面
2、直线，经过空间任意一点O作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角范围：(0，903直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线可以确定一个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()答案(1)(2)(3)(
3、4)2(教材改编)如图391所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为_图39160连结B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3下列命题正确的有_(填序号)梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合正确，错误中两直线的位置关系可能平行、相交或异面；中若三个点不共线，则两平面重合4(2016山东高考改编)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“
4、直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件充分不必要条件由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件5若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是_答案b与相交或b或b平面的基本性质如图392，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点图392证明(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1
5、C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合2证明点共线问题的常用方法：(1)基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这
6、些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上变式训练1如图393所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点图393(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 【导学号：62172214】解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG是平行四边形(2)C，D，F，E四点共面，理由如下：由BE綊AF，G为FA的中点知BE綊GF，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又
7、DFH，C，D，F，E四点共面.空间直线的位置关系(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_(填序号)l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017郑州模拟)在图394中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)图394(1)(2)(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN
8、，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面规律方法1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线2点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系变式训练2a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：若aM，bM，则a
9、b或a，b相交或a，b异面；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确的为_(填序号)对于，当aM，bM时，则a与b平行、相交或异面，为真命题中，bM，ab，则aM或aM，为假命题命题中，a与b相交、平行或异面，为假命题由线面垂直的性质，命题为真命题，所以为真命题异面直线所成的角(1)如图395，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_图395(2)(2016全国卷改编)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成
10、角的正弦值为_(1)(2)(1)连结BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连结A1C1，由AB1，AA12，则A1C1，A1BBC1，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1.(2)设平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.因此直线m与n所成的角与直线B1D1与CD1所成的角相等，即CD1B1为m，n所成的角在正方体ABCDA1B1C1D1
11、中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.规律方法1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：通过作平行线，得到相交直线的夹角(2)证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角(3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角变式训练3如图396，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1
12、与BC所成角的正切值为_. 【导学号：62172215】图396取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，则因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.思想与方法1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线
13、看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了转化与化归思想易错与防范1异面直线不同在任何一个平面内，不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的
14、内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角课时分层训练(三十九)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1在下列命题中，不是公理的是()平行于同一个平面的两个平面相互平行；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；是平面的基本性质公理2已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为_1法一：在空间中，若ab，ac，则b，
15、c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确3(2016南京模拟)下列命题中正确的是_(填序号)空间四点中有三点共线，则此四点必共面；三个平面两两相交的三条交线必共点；空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平面和平面可能只有一个交点由公理3的推论1可知正确；其余均错误4已知，为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA.由公理1及公理2可知正确，错误5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的
16、中点若BFC60，则ED1D_. 【导学号：62172216】60BFD1E，DD1CF，由等角定理可知BFCED1D60.6已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为_连结DF，则AEDF，D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角设正方体棱长为a，则D1Da，DFa，D1Fa，cos D1FD.7.如图397所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：图397直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线MN与AC所成的角为60.其中
17、正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上)由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线因为D1CMN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60.8.如图398所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_图39860取A1C1 的中点E，连结B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E即为所求，设AB1，则A1A，AB1，B1E，AE，故AB1E60.9如图399，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.
18、 【导学号：62172217】图3994取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.10.如图3910是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，图3910GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH与EF为异面直线，B
19、D与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.二、解答题11.如图3911，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于点H.图3911(1)求AHHD；(2)求证：EH，FG，BD三线共点解(1)2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)证明：EFGH，且，EFGH，四边形EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，又PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH，FG，BD三线共点12.如图3912
20、，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形. 【导学号：62172218】图3912证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形B组能力提升(建议用时：15分钟)1设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的
21、是_若AC与BD共面，则AD与BC共面；若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；若ABAC，DBDC，则ADBC；若ABAC，DBDC，则ADBC.中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；中，若ABAC，DBDC，AD不一定等于BC；中，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC.2.如图3913，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为_图3913取DE的中点H，连结HF，GH.
22、由题设，HF綊AD，GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)在GHF中，可求HF，GFGH，cosGFH.3空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小图3914解如图，取AC的中点G，连结EG，FG，则EG綊AB，FG綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.4已知正方体ABCDA1
23、B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线证明(1)E，F分别为D1C1，C1B1的中点，连结D1B1(图略)，易知EFD1B1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD.所以EF，BD确定一个平面即D，B，F，E四点共面(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为，因为QA1C1，所以Q.又因为QEF，所以Q，则Q是与的公共点，同理，P点也是与的公共点，所以PQ.又因为A1CR，所以RA1C，则R且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线
