1、 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 （第 10 题图）（第 4 题图）河南省20202021学年高三尖子生11月联合诊断性测试 理科数学本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 A=1,2,3,4,B=2,4,6,U=1,2,3,4,5,6，则(CU A)(CUB)=A.5 B.1,3,5,6 C.1,3,5 D.2,4,62.已知双曲线的渐近线方程为 y=12 x，则其对应的双曲线方程不可能为A.2214xy=B.2214xy=C.2214yx=D.
2、2246xy=3.设复数 z 满足方程4z zz z+=，其中 z 为复数 z 的共轭复数，若 z 的实部为2，则 z 为 A.1 B.2 C.2 D.4 4.已知函数()xf的局部图象如图所示，则()xf的解析式可以是 A.()xexfx2sin1=B.()xexfx2cos1=C.()xxxf2sinln=D.()xxxf2cosln=5.()632xx 的展开式中，4x 的系数是 A.20 B.20 C.160 D.160 6.从 19 这 9 个数字中，选取 4 个数字，组成含有 1 对重复数字的五位数的种数有 A.30240 B.60480 C.15120 D.630 7.”“1x是
3、”“xxx1ln的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知310 a，随机变量 的分布列如下，当a 增大时 1 0 1 Pa a31 32 A.()E增大，()D增大 B.()E减小，()D增大 C.()E增大，()D减小 D.()E减小，()D减小 9.已知实数,x y 满足 20 xy，且11122xyxy+=+，则 xy+的最小值为 A.32 35+B.42 35+C.24 35+D.34 35+10.已知点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，且满足PDPC=，平面 PAD平面lPBC=，设直 线CP 与直线 DP 所成角的大小为
4、，直线CP 与平面 PAD 所成角的大小为 ，二面角BlA的大小为，则下列判断正确的是 A.B.C.D.11.已知函数()baxxexfx+=ln，则下列说法正确的是 A.存在Rba,，函数()xf没有零点 B.任意Rb，存在0a，函数()xf恰有 1 个零点 C.任意0a，存在Rb，函数()xf恰有 2 个零点 D.任意Rb，存在0a，函数()xf恰有 3 个零点 12.已知4321,aaaa成等比数列，且()23214321aaaaaaa+=+，若11a ，则 A.4231,aaaa B.4231,aaaa C.4231,aaaa D.4231,aaaa 第 3 页 共 4 页 第 4 页
5、 共 4 页 （第 19 题图）（第 20 题图）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知 tan2sin 2,2=，则 tan 2=14.设函数()32,0ln,0 xxf xx x+=，则满足()1f a 的实数a 的取值范围是 15.已知 ABC的重心为,G ADAB AEAC=，其中0,1，且,D G E 共线，则 11+=16.已知椭圆方程为1422=+yx，直线l 过点()0,1且与椭圆交于两点，BA,O 为坐标原点，则 AOB 的面积的最大值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考
6、题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分 17.（12 分）已知函数()3sincos,34f xxxxR=+（1）当2,0 x时，求()xf的值域；（2）在 ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c，其中，锐角 A满足：214=Af点 D 满足：37,ADDBDDCC=，求 ABC的面积 18.（12 分）已知数列 na满足()12132,13211+=+=nnnnaaaaa（1）求数列 na的通项公式；（2）记数列 na的前n 项和为nS，求证：122211+nSaSaSann 19.（12 分）在多面体 ABCDE 中，
7、1,2,/,ADBEABBCAD BC=,32DABABE=，平面 ABCD 平面 ABE （1）证明：DEBC；（2）求直线 BC 与平面 DCE 所成角的正弦值 20.（12 分）如图所示，过抛物线xy42=的焦点 F 作互相垂直的直线 12,l l，1l 交抛物线于BA,两 点（A 在 x 轴上方），2l 交抛物线于,C D 两点，交其准线于点 N （1）求四边形 ACBD 的面积的最小值；（2）若直线 AN 与 x 轴的交点为Q，求 AQB面积的最小值 21.（12 分）已知函数()()Rxxexfx=，其中e 为自然对数的底数（1）当1x时，证明：()()211ln231f xxxx
8、x+；（2）设实数()1212,x xxx是函数()()()2121+=xaxfxg的两个零点，求实数a 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 22.（10 分）选修 44：极坐标与参数方程 在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为=sin2cos3yx(为参数)，直线l 的参数方程为+=tytx22222(t 为参数)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为22，（1）求点 P 的直角坐标，并求曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B，求PBPA+的值 23.
9、（10 分）选修 45：不等式选讲 设正实数cba,满足132=+cba（1）求abc 的最大值；（2）求()cbbaba341+的最小值 2=c 1 理科数学答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C B D D A A B B B B B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.3 14.)4,0,e+15.3 16.23 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作
10、答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 17.解：（1）()433cossin+=xxxf=43sin23cos21sin+xxx2 分=43sin232sin412+xx=43432cos432sin41+xx=+32sin21x4 分 当2,0 x时，+34,332x，+1,2332sinx，()21,43xf.()xf的值域是21,43.6 分 2 （2）2132sin214=+=AAf，2,0 A，可得3=A8 分 设xDC=，则xAD3=，xBD7=，由余弦定理，()()21232723cos222=+=xxxA，解得1=x或2=x.10 分 又113sin2 42 3222
11、ABCSAB ACAxx=，ABC的面积为32或34.12 分 18.解：（1）当1=n时，11=a.当2n时，()()12213211321+=+nnnanaaa，2 分 由()12132321+=+nnnnaaaa，-可得：12=nnnna，()221=nann，4 分 1201=a，符合12=nna.综上，12=nna.5 分（2）()2-11 1 21222211 2nnnnS=+=7 分 则+=1211211221nnnnnSa，当1n时，有1212nn成立，所以有+121121nnnSa1122n=+10 分 从而21-121-1212212121222211+=+nnnnnnSa
12、SaSa 3 111222nnn=+，所以，122211+nSaSaSann，即证.12 分 19.解：（1）连接 DB，在 ABD中，3cos2222=+=DABABADABADBD，则3=BD 所以，222ABBDAD=+，即 2=ADB,DBAD.2 分 又因为平面 ABCD 平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB=，且ABEB，所以EB平面 ABCD.3 分 因为AD平面 ABCD，所以ADEB.4 分 由DBAD，ADEB，BEBDB=，且BEDB,平面 DBE，所以有AD平面 DBE 5 分 因为DE平面 DBE，所以DEAD，又因为BCAD/，所以DEBC.6 分（2）解法
13、一：过C 点作CGAB交 AB 的延长线于G，连接 EG,/,33ADBCDABCBG=，由90CGB=，可得：31sin 6023,cos6021,22CGBCBGBC=901=EBG，BE，2EG=，平面 ABCD 平面 ABE ，面 ABCD 面 ABE=AB,ABCG，.CGABE 面，又EG 平面 ABE，CGEG 22290,5CGECECGGE=+=5=CE，由（1）可知，DEAD，4222=ADAEDE，即2=DE，4 由（1）可知，AD平面 DBE，所以 ADBD，3BD=，BCAD/，BCBD2227,CDBDBC=+=即7=CD，可知：2222227524cos22753
14、5DCCEDEDCEDC CE+=,351935161sin=DCE，21935195721sin21=DCECEDCS DCE.9 分 3312323131C=BESVDBBCDE 由等体积：CDEBBCDEVV=，所以，=33，代入：h=2193133，解得1932=h，设直线 BC 与平面 DCE 所成角为，则2 35719sin219hBC=.12 分 解法二：以 B 为原点，分别以BEBA,所在直线为yx,轴，过 B 作垂线为 z 轴，建立空间直 角坐标系 Bxyz 过点C 作CGAB交 AB 的延长线于点G，过点 D 作 DFAB交 AB 于点 F，/BC,3ADCBGDAB=，又
15、1,2ADBC=，3sin1,sin23323DFCG=，1cos1,cos21323AFBG=，hS CDE 31 5 又132,2,22ABBFABAF=()331,0,3,0,22CD 又()()()2,0,0,0,0,0,0,1,0ABE ()()531,1,3,0,1,0,322ECDCBC=.8 分 设平面 DCE 的法向量为()zyxn,=，由,00=nDCnEC有=+=+0232503zxzyx，令3=z，则=3,512,53n10 分 设直线 BC 与平面 DCE 所成角为，则33575sincos=199144232525n BCn,BCnBC+=+，即直线 BC 与平面
16、DCE 所成角的正弦值为1957.12 分 20.解：（1）由已知可知直线 AB 的斜率必存在，设直线 AB 的斜率为 k（0k），抛物线xy42=的焦点()0,1F，则()1=xk:ylAB 与抛物线相联立，()()0421422222=+=kxkxkxkyxy 设()()2211,yxByxA，则=+=+142212221xxkkxx 6 221442kxxAB+=+=2 分，同理，244CDk=+,则四边形 ACBD 的面积为()()，32228128141142121S2222=+=+=kkkkCDAB 当且仅当1=k时，四边形 ACBD 的面积的最小值为 324 分（2）设点()()
17、()()()()()()02,02,02,02,4424332322221121tttDtttCtttBtttA，则43212,2ttkttkCDAB+=+=.，考虑到点()BFA,0,1,共线，则12221121=+=ttttkkAFAB，从而121=tt6 分 同理143=tt.由于CDAB,从而,1224321=+=ttttkkCDAB故()().44321=+tttt 由于直线()12:43+=xttyCD，则点+434,1ttN，由于.42143tttt+=+故()21,1ttN+.8 分 由于()12111212121211111112tttttttttttkAN=+=+=+=，从
18、而直线 AN 的方程为()121121ttxty+=，即111yxtt=+，从而点Q 的横坐标为21txQ=.由此211 tFQ+=.又()1211121122222ttttttyyBA+=+=，从而()()()222211111121111022AQBABtttSFQyyttt+=.10 分 12211=ttkAF 7 由于()113112141122112121ttttttttSAQB+=+=+=，令()1131112ttttf+=，则()()()21212121214121211113123123tttttttttf+=+=+=，可知()1tf在+,33上单调递增，在330，上单调递减，
19、所以，当且仅当331=t时，AQB面积的最小值为931612 分 21.解：（1）设()()()112ln12ln111+=+=xxxexxxxfxhx()211+=xexhx，()211xexhx=1x110,121xex()0121=xexhx2 分()xh在()+,1上单调递增，又()01=h 1x时，()xh()01=h4 分()12ln1+=xxexhx在()+,1上单调递增，又()01=h 1x时，()()01=hxh 故当1x时，()12ln11+xxxxf，()()132ln112+xxxxxf6 分（2）()()2121+=xaxexgx ()()()()()aexxaexx
20、gxx+=+=111 当0=a时，易知函数()xg只有一个零点，不符合题意:7 分 8 当0a时，在()1,上，()0 xg，()xg单调递减；在()+,1上，()0 xg，()xg单调递增；又()011=eg，且()021=aeg 不妨取4b且()ab ln时，()()()02122112122ln+=+bbababebga ()+xgx，或者考虑：当，所以函数()xg有两个零点，0a符合题意.9 分 当0a时，由()()()01=+=aexxgx得1=x或axln=（i）当1ln=a即ea1=时，在()+,上，()0 xg成立，故()xg在()+,上单调递增，所以函数()xg至多有一个零点
21、，不符合题意.10 分（ii）当1lna即ea10时，在()aln,和()+,1上，()0 xg，()xg单调递 增；在()1,lna上，()0 xg，()xg单调递减：又()011=eg，且()()()01ln211ln21lnln22+=+=aaaaaaag，所以函数()xg至多有一个零点()xg，不符合题意.11 分（iii）当eaa11ln即时，在()1,和()+,ln a上()0 xg，()xg单调递增；在()aln,1上()0 xg，()g x 单调递减 又()011=eg，所以函数()xg至多有一个零点，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是()0,.12 分 （二）选考题：
22、共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 9 一题计分 22选修 44：极坐标与参数方程（10 分）解：（1）22sin2,02cos2=yx，P 的直角坐标为()2,0P2 分 由=sin2cos3yx，得2sin3cosy,x=.曲线 C 的普通方程为14922=+yx4 分（2）将+=tytx22222代入14922=+yx36222922422=+tt，化简得21336360tt+=6 分 设 A，B 对应的参数分别为21,tt，则1336,13362121=+tttt8 分 P 点在直线 l 上，()1322121336413364221221212
23、1=+=+=+=+ttttttttPBPA 10 分 23选修 45：不等式选讲（10 分）解：（1）0,cba，336316332abcabccba+2 分 162131613=abc4 分 当且仅当3132=cba，即91,61,31=cba时，abc 取到最大值为1621 5 分（2）013132=+=+bacbcba，10 ()()()414114141141341+=+=+=+babababababababacbbaba 7 分()()()5114141411+=+=babababababababa9 分 当且仅当()baba+=21，即31=+ba时，()cbbaba341+取得最小值为 510 分
