1、3组合知识点一组合的定义 填一填一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题答一答1如何区分一个问题是排列问题还是组合问题？提示：一个问题究竟是组合问题还是排列问题，不能想当然地判断，必须要结合具体的问题，依照题目的要求，寻找处理的过程中是否与顺序有关，如果与顺序有关，就是排列问题，否则就是组合问题知识点二组合 填一填我们把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示 答一答2如何理解记忆组合数公式？提示：在记住排列数公式的基础上，分母再
2、除以m！就得组合数公式知识点三组合数的性质 填一填性质1：CC.性质2：CCC.答一答3如何理解和记忆组合数的性质提示：从n个元素中取m个元素，剩余(nm)个元素，故CC.从n1个元素中取m个元素记作C，可认为分作两类：第一类为含有某元素a的取法为C，第二类不含有此元素a，则为C，根据分类加法计数原理得CCC.1组合的定义(1)给出的n个元素是互不相同的，且从n个元素中抽取m个元素是没有重复抽取情况的，因而这m个元素也是互不相同的，这就决定了mn.(2)组合的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关(3)由定义可知，两个组合相同，只需这两个组合的
3、元素相同即可2组合数我们可以从集合的角度来理解，从n个不同元素中取出m个元素并成一组是一个组合，任取m个元素组成的组合的全体构成一个集合，例如：从3个不同元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为：Aab，ac，bc所谓组合数就是求这个集合的元素的个数从集合中可以清楚地了解组合之间的互异性3组合数公式(1)组合数公式的推导应注意以下两点：遵循从特殊到一般的原则，重点研究了从3个不同元素中取出2个元素的组合数推导过程中采用了穷举法遵循以退为进的原则，先建立了组合与排列之间的对应关系，依据分步计数原理，把求从n个不同元素中取出m个元素的排列数的过程分为两步完成：求组合数；求全排列数从而利用这种
4、对应关系和已知的排列数公式得到组合数公式我们应理解和掌握这种分步解决问题的思路，它在解决排列组合应用题时非常重要(2)组合数公式的应用对于组合数公式我们强调：第一个公式体现了组合数与相应排列数的关系，当n确定而m变化时，组合数与m的一种函数关系第二个公式C的主要作用有：当m，n较大时，可借助计算器，利用这个公式计算组合数比较方便对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用此式4组合数的两个性质(1)性质1：CC从n个元素中取出m个元素，相当于从这n个元素中留下nm个元素，所以CC.这体现了“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想性质表达式的特点：等号两边组合数的下标相同，上标之和等于下标性质的
5、作用：()当m时，计算C可转化为计算C，简化运算；()CCxy或xyn.(2)性质2：CCC从含有a的n1个不同的元素中取出m个元素的组合数是C，这些组合可以分为两类：第一类：取出的m个元素中含有元素a，相当于从不含a的n个不同的元素中取出m1个元素，共有C个第二类：取出的m个元素中不含元素a，相当于从不含a的n个不同的元素中取出m个元素，共有C个根据加法原理，得到CCC.这体现了“含与不含某元素”的分类思想性质表达式的特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与较大的相同的一个组合数性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的具体应用题型
6、一组合的概念 例1(1)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位去参加学习交流会，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出所有的可能情况；(2)从甲、乙、丙、丁四位老师中选出两位分别到A，B两个班级当班主任，试判断该问题是组合问题还是排列问题，并写出所有的可能情况思路探究(1)两位老师参加学习交流会没有顺序要求，是组合问题；(2)由于班级不一样，若选出两位老师后，安排班级不同时，结果不一样，所以是排列问题解(1)该问题为组合问题，所有情况为：甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁，共6种情况(2)该问题为排列问题，班级A，B的班主任的所有情况为：(甲，乙)，(乙，甲)，(甲，丙)，(丙，甲
7、)，(甲，丁)，(丁，甲)，(乙，丙)，(丙，乙)，(乙，丁)，(丁，乙)，(丙，丁)，(丁，丙)，共12种情况规律方法 用组合的知识解简单的应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与顺序有关，而组合问题与顺序无关若顺序对结果无影响，则是组合问题，若顺序对结果有影响，则是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题(1)设集合Aa，b，c，d，e，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多
8、分得1本，有几种分配方法？解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题(2)因为甲站到乙站的车票与乙站到甲站的车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题(3)因为分工方法是从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给3个人去干，故是排列问题(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题题型二有关组合数的计算或证明 例2(1)已知3，求n.(2)证明：CC，CCCC.思路探究充分利用组合数公式及性质解题，并注意有关限制条件解(1)原方程可变形为1，即CC，即，化简整理得n23n540.解此二次方程得n9或
9、n6(不合题意，舍去)n9.(2)证明：CC.CC.CC，CCCC.规律方法 解和组合数有关的方程、不等式、求值、证明等问题时，要注意组合数公式及性质，同时注意其成立的条件计算：(1)CCC；(2)CCCCCC；(3)CC.解：(1)原式CC1564 9505 006.(2)原式2(CCC)2(CC)2(6)32.(3)方法一：原式CCnn(n1)nn2n.方法二：原式(CC)C(1C)C(1n)nn2n.题型三无约束条件的组合问题 例3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内
10、取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？思路探究先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是CC21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C35.规律方法 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”其次要看这件事是分类完成还是分步完成现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名
11、去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C45种(2)从6名男教师中选2名有C种选法，从4名女教师中选2名有C种选法根据分步乘法计数原理，共有选法CC90种题型四有约束条件的组合问题 例4要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？(1)A，B，C三人必须入选；(2)A，B，C三人都不能入选；(3)A，B，C三人只有一人入选；(4)A，B，C三人至少一人入选；(5)A，B，C三人至多两人入选思路探究判断是否与顺序有关，确定是否为组合问题解(1)只需再从A，B，C之外的9人中选择2人，所以有方法C36(种)(2)由于A，B，C三人都不
12、能入选，所以只能从余下的人中选择5人，即有选法C126(种)(3)可分两步：先从A，B，C三人中选出一人，有C种选法；再从其余的9人中选择4人，有C种选法所以共有选法CC378(种)(4)(直接法)可分三类：A，B，C三人只选一人，则还需从其余9人中选择4人，有选法CC378(种)；A，B，C三人中选择两人，则还需从其余9人中选择3人，有选法CC252(种)；A，B，C三人都入选，则只需从余下的9人中选择2人，有选法CC36(种)由分类加法计数原理，共有选法37825236666(种)(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人都不入选的情况，共有选法CC666(种)(5)(直接法)可
13、分三类：A，B，C三人均不入选，有C种选法；A，B，C三人中选一人，有CC种选法；A，B，C三人中选两人，有CC种选法由分类加法计数原理，共有选法CCCCC756种(间接法)先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有选法CC756种规律方法 解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”、“至少”等组合问题时更是如此此
14、时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键(1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？解：(直接法)如题图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面三点的取法有3C333(种)(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为(C)A232B25
15、2C472 D484解析：本题考查了利用组合知识来解决实际问题方法一：C4CCC167256088472.方法二：CC3CCC12422026412472.解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重题型五分配问题 例5有6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)一人得1本，一人得2本，一人得3本；(4)平均分成三堆(组)；(5)一堆1本，一堆2本，一堆3本思路探究(1)、(2)两题可设想甲、乙、丙三人依次如数取书；(3)则在(2)的基础上甲、乙、丙三人全排列分配；由等概率思想，(4)为(1)的A分之一；(5)为
16、(3)的A分之一解(1)每人得2本，可考虑甲先在6本书中任取2本，取法有C种，再由乙在余下的书中取2本，取法有C种，最后由丙取余下的2本书，有C种取法，由分步计数原理所以共有分法数：NCCC90.所以一共有90种取法(2)选取方法同(1)，所以共有分法数NCCC60.所以一共有60种取法(3)在(2)中甲得1本，乙得2本，丙得3本的基础上，考虑到甲、乙、丙三人的机会相等，让甲、乙、丙三人全排列调换位置，所以共有分法数：NCCCA360.所以一共有360种选法(4)由于三堆的位置并无差别，可在(1)的情况下，得共有分法数为：N15.所以一共有15种分法(5)类似(4)与(1)，考虑本题与(3)的
17、差别，所以共有分法数：NCCC60(种)所以一共有60种分法规律方法 本题利用计数原理和组合知识，解决了分配问题解决此类问题关键是实现合理的转化，最基本最简单的情形是分到具体的人，并且各人分的数目确定，其他的都要向这种情形转化现有5名学生要进入某工厂的四个车间去实习，每个车间至多去2人，有多少种不同的方法？解：本例要求5个人去四个车间，每个车间至多去2人，但是并没有强调每个车间必须去几人，因此，本例可分为如下两类：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，或者，有两个车间各去2人，一个车间去1人，一个车间不去人依题意，至少有一个车间去2人，至多有两个车间各去2人，因此，实习方案可分为两类：第一类
18、：有一个车间去2人，其余三个车间各去1人，所以，先在5个人中任选2人去一个车间，有C种方法；将此2人看做1个元素，连同其余3个人，共4个元素分别到四个车间，有A种方法，共有CA240(种)第二类：有两个车间各去2个人，一个车间去1个人，一个车间不去人，因此，先在5个人中确定1个人去一个车间，并在四个车间中选一个车间插入此人，有CC种方法；然后在其余4个人中选2人到一个车间，另2人则自然到另一车间，并在剩下的三个车间中选两个车间来安排他们，有CCC(种)方法，共有CCCCC360(种)方法由分类加法计数原理可知，所求方法共有240360600(种)题型六排列、组合的综合应用 例6有4个不同的球，
19、四个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒内不放球，有多少种放法？思路探究(1)可直接用分步计数原理(2)问题转化为：“4个球，三个盒子，每个盒子都要放球，共有几种放法？”(3)该问题事实上与问题(2)是同一个问题(4)问题转化为：“4个球，两个盒，每个盒必须放入球，有几种放法？”解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44256(种)(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有
20、C种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可由分步计数原理知，共有放法：CCCA144(种)(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此，“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法(4)先从四个盒子中任意拿走两个有C种拿法，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有CC种放法；第二类：有C种放法因此共有CCC14(种)由分步乘法计数原理得
21、“恰有两个盒子不放球”的放法有：C1484(种)规律方法 该例的分析过程比较重要，当问题从某个方面入手较困难时，可从另外一个角度去思考该例是用直接法求解有几个小题也可用间接法请同学们试试(1)我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为 (C)A72 B108C180 D216解析：甲需从另外3个选一个，有C种方法，其余可分两类，第一类：除同学甲外的另四名同学分别参加四个
22、社团，共有A种，第二类：其余四名同学只参加三个社团，共有CA种，所以一共有C(ACA)180(种)(2)从1到9的九个数中取三个偶数和四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起有几个？在中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？在中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？解：分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有CCA100 800(个)上述七位数中，三个偶数排在一起的有CCAA14 400(个)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个
23、奇数也排在一起的有CCAAA5 760(个)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空当，共有CCAA28 800(个)误区警示系列1组合数公式用错致误例6已知，求m.错解由已知得，即6010(6m)(7m)(6m)，整理，得m223m420，解得m21或m2.正解依题意知m的取值范围是m|0m5，mN由已知得，整理，得m223m420，解得m21或m2.m0,5，m2.辨析这是一个关于m的含组合数的方程错解中，转化为关于m的一元二次方程后，忽略了m的允许值的范围导致出错解这类题时，要将C中m，n的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解2概念混淆致误例7有甲、乙、
24、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_种(用数字作答)错解一分3步完成：第一步：从10人中选出4人，有C种方法第二步：从这4人中选出2人承担任务甲，有A种方法第三步：剩下的2人分别承担任务乙、丙，有A种方法根据乘法原理，不同的选法共有CAA5 040种错解二分3步完成，不同的选法共有CCC1 260种正解一先从10人中选出2人承担任务甲 ；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人去承担任务丙根据乘法原理，不同的选法共有CCC2 520(种)正解二先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承
25、担任务乙、丙根据乘法原理，不同的选法共有CA2 520(种)辨析错解一的错因是：“排列”“组合”概念混淆不清承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即A应为C.错解二的错因是：剩下的2人去承担任务乙、丙，这与顺序有关，此处应是排列问题，即C应为A.1解不等式C3C.解：由，整理得，所以m273m.所以m7.又因为0m18，且0m8，mN，所以7m8，所以m7或8.2上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为16.解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有CC种情况；若3人中
26、没有甲企业的，则共有C种情况由分类加法原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC16(种)1以下四个命题，属于组合问题的是(C)A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：A，B，D与顺序有关，是排列问题，只有C与顺序无关，是组合问题2某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)A30种B35种C42种 D48种解析：方法一：可分为以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类
27、选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法故不同的选法共有CCCC181230(种)方法二：事件“两类课程中各至少选一门”的对立事件是“全部选修A或全部选修B”两类课程中各至少选一门的选法有：CCC30(种)3甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间距离均不相等且无通票，则车票票价的种数是(C)A1 B2C3 D6解析：从甲、乙、丙三地中任取两个地点则对应着一个票价，故票价应为C3(种)4计算：CCCCC55.解析：原式12341055.5若CCCC363，则正整数n13.解析：由CCCC363，得1CCCC364，即CCCCC364.又由CCC，则CCCCCCCCCCCCCC，所以C364，即364，又由n是正整数，解得n13.6求证：A100AC.证明：100AC1007！A，原等式成立