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2015届高考数学二轮复习检测:专题7.docx

上传人:高**** 文档编号:32383 上传时间:2024-05-24 格式:DOCX 页数:7 大小:104.10KB
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资源描述

1、专题 7.38 圆锥曲线中的探索性问题1在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0,2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围;(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量OP OQ与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由解(1)由已知条件,得直线 l 的方程为 ykx 2,代入椭圆方程得x22(kx 2)21.整理得(12k2)x22 2kx10.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k24(12k2)4k220,解得 k 22.即 k 的取值范围为(,

2、22)(22,)(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则OP OQ(x1x2,y1y2),由方程,得 x1x2 4 2k12k2.又 y1y2k(x1x2)2 2.而 A(2,0),B(0,1),AB(2,1)所以OP OQ 与AB共线等价于 x1x2 2(y1y2),将代入上式,解得 k 22.由(1)知 k 22,故不存在符合题意的常数 k.2已知双曲线方程为 x2y221,问:是否存在过点 M(1,1)的直线 l,使得直线与双曲线交于P、Q 两点,且 M 是线段 PQ 的中点?如果存在,求出直线的方程,如果不存在,请说明理由解 显然 x1 不满足条件,设 l:y1k(x1)联立

3、y1k(x1)和 x2y221,消去 y 得(2k2)x2(2k22k)xk22k30,由 0,得 k32,x1x22kk22k2,由 M(1,1)为 PQ 的中点,得x1x22kk22k21,解得 k2,这与 k0)过 M(2,2),N(6,1)两点,O 为坐标原点(1)求椭圆 E 的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,请说明理由解(1)因为椭圆 E:x2a2y2b21(a,b0)过 M(2,2),N(6,1)两点,所以4a2 2b21,6a21b21,解得1a21

4、8,1b214,所以a28,b24,椭圆 E 的方程为x28y241.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB,设该圆的切线方程为 ykxm,A(x1,y1),B(x2,y2),解方程组ykxm,x28y241得 x22(kxm)28,即(12k2)x24kmx2m280,则 16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0,即 8k2m240.故x1x2 4km12k2,x1x22m2812k2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k22m2812k2 4k2m212k2m2m28k212k2.要

5、使OA OB,需使 x1x2y1y20,即2m2812k2m28k212k2 0,所以 3m28k280,所以 k23m2880.又 8k2m240,所以m22,3m28,所以 m283,即 m2 63 或 m2 63,因为直线 ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 r|m|1k2,r2 m21k2m213m28883,r2 63,所求的圆为 x2y283,此时圆的切线 ykxm 都满足 m2 63 或 m2 63,而当切线的斜率不存在时切线为 x2 63 与椭圆x28 y241 的两个交点为(2 63,2 63)或(2 63,2 63)满足OA OB,综上,存在圆心在原点的圆

6、 x2y283,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OA OB.4(2014重庆)如图,设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 D 在椭圆上,DF1F1F2,|F1F2|DF1|2 2,DF1F2 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由解(1)设 F1(c,0),F2(c,0),其中 c2a2b2.由|F1F2|DF1|2 2,得|DF1|F1F2|2 2 22 c,从而

7、 SDF1F212|DF1|F1F2|22 c2 22,故 c1,从而|DF1|22.由 DF1F1F2,得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292,因此|DF2|3 22.所以 2a|DF1|DF2|2 2,故 a 2,b2a2c21.因此,所求椭圆的标准方程为x22y21.(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22y21 相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y10,y20,F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2x1,y1y2.由(1)知 F1(1,0),F2(1,0),所以F1P1(x11,y1),F2P2

8、(x11,y1),再由 F1P1F2P2,得(x11)2y210.由椭圆方程得 1x212(x11)2,即 3x214x10,解得 x143或 x10.当 x10 时,P1,P2 重合,题设要求的圆不存在当 x143时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C.设 C(0,y0),由 CP1F1P1,得y1y0 x1y1x111.而求得 y113,故 y053.圆 C 的半径|CP1|432135324 23.综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x2(y53)2329.5(2014江西)如图,已知抛物线 C:x24y,过点 M(0,2)任作一直线与 C相交于

9、A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)(1)证明:动点 D 在定直线上;(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2,证明:|MN2|2|MN1|2 为定值,并求此定值(1)证明 依题意可设 AB 方程为 ykx2,代入 x24y,得 x24(kx2),即 x24kx80.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x28.直线 AO 的方程为 yy1x1x;BD 的方程为 xx2.解得交点 D 的坐标为xx2,yy1x2x1,注意到 x1x28 及 x214y1,则有 y

10、y1x1x2x21 8y14y1 2.因此动点 D 在定直线 y2 上(x0)(2)解 依题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 yaxb(a0),代入 x24y 得 x24(axb),即 x24ax4b0.由 0 得(4a)216b0,化简整理得 ba2.故切线 l 的方程可写为 yaxa2.分别令 y2,y2 得 N1,N2 的坐标为N1(2aa,2),N2(2aa,2),则|MN2|2|MN1|2(2aa)242(2aa)28,即|MN2|2|MN1|2 为定值 8.6(2014福建)已知曲线 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y3 的距离小 2.(1)求曲

11、线 的方程(2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A,直线 y3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M,N.以MN 为直径作圆 C,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B.试探究:当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论解 方法一(1)设 S(x,y)为曲线 上任意一点,依题意,点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y1 的距离相等,所以曲线 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y1 为准线的抛物线,所以曲线 的方程为 x24y.(2)当点 P 在曲线 上运动时,线段 AB 的长度不变证明如下:由(1)知抛物线 的方程为

12、y14x2,设 P(x0,y0)(x00),则 y014x20,由 y12x,得切线 l 的斜率ky|xx012x0,所以切线 l 的方程为 yy012x0(xx0),即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20,y0,得 A(12x0,0)由y12x0 x14x20,y3,得 M(12x06x0,3)又 N(0,3),所以圆心 C(14x03x0,3),半径 r12|MN|14x03x0|,|AB|AC|2r212x014x03x023214x03x02 6.所以点 P 在曲线 上运动时,线段 AB 的长度不变方法二(1)设 S(x,y)为曲线 上任意一点,则|y(3)|x02y122,依题意,点 S(x,y)只能在直线 y3 的上方,所以 y3,所以 x02y12y1,化简,得曲线 的方程为 x24y.(2)同方法一

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