1、专题 7.38 圆锥曲线中的探索性问题1在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A，B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ与AB共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，得直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21.整理得(12k2)x22 2kx10.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k24(12k2)4k220，解得 k 22.即 k 的取值范围为(，
2、22)(22，)(2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP OQ(x1x2，y1y2)，由方程，得 x1x2 4 2k12k2.又 y1y2k(x1x2)2 2.而 A(2，0)，B(0,1)，AB(2，1)所以OP OQ 与AB共线等价于 x1x2 2(y1y2)，将代入上式，解得 k 22.由(1)知 k 22，故不存在符合题意的常数 k.2已知双曲线方程为 x2y221，问：是否存在过点 M(1,1)的直线 l，使得直线与双曲线交于P、Q 两点，且 M 是线段 PQ 的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由解 显然 x1 不满足条件，设 l：y1k(x1)联立
3、y1k(x1)和 x2y221，消去 y 得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由 0，得 k32，x1x22kk22k2，由 M(1,1)为 PQ 的中点，得x1x22kk22k21，解得 k2，这与 k0)过 M(2，2)，N(6，1)两点，O 为坐标原点(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)因为椭圆 E：x2a2y2b21(a，b0)过 M(2，2)，N(6，1)两点，所以4a2 2b21，6a21b21，解得1a21
4、8，1b214，所以a28，b24，椭圆 E 的方程为x28y241.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且OA OB，设该圆的切线方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组ykxm，x28y241得 x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，则 16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0，即 8k2m240.故x1x2 4km12k2，x1x22m2812k2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k22m2812k2 4k2m212k2m2m28k212k2.要
5、使OA OB，需使 x1x2y1y20，即2m2812k2m28k212k2 0，所以 3m28k280，所以 k23m2880.又 8k2m240，所以m22，3m28，所以 m283，即 m2 63 或 m2 63，因为直线 ykxm 为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为 r|m|1k2，r2 m21k2m213m28883，r2 63，所求的圆为 x2y283，此时圆的切线 ykxm 都满足 m2 63 或 m2 63，而当切线的斜率不存在时切线为 x2 63 与椭圆x28 y241 的两个交点为(2 63，2 63)或(2 63，2 63)满足OA OB，综上，存在圆心在原点的圆
6、 x2y283，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且OA OB.4(2014重庆)如图，设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 D 在椭圆上，DF1F1F2，|F1F2|DF1|2 2，DF1F2 的面积为 22.(1)求该椭圆的标准方程(2)是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由解(1)设 F1(c,0)，F2(c,0)，其中 c2a2b2.由|F1F2|DF1|2 2，得|DF1|F1F2|2 2 22 c，从而
7、 SDF1F212|DF1|F1F2|22 c2 22，故 c1，从而|DF1|22.由 DF1F1F2，得|DF2|2|DF1|2|F1F2|292，因此|DF2|3 22.所以 2a|DF1|DF2|2 2，故 a 2，b2a2c21.因此，所求椭圆的标准方程为x22y21.(2)如图，设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆x22y21 相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y10，y20，F1P1，F2P2 是圆 C 的切线，且 F1P1F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知 F1(1,0)，F2(1,0)，所以F1P1(x11，y1)，F2P2
8、(x11，y1)，再由 F1P1F2P2，得(x11)2y210.由椭圆方程得 1x212(x11)2，即 3x214x10，解得 x143或 x10.当 x10 时，P1，P2 重合，题设要求的圆不存在当 x143时，过 P1，P2 分别与 F1P1，F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C.设 C(0，y0)，由 CP1F1P1，得y1y0 x1y1x111.而求得 y113，故 y053.圆 C 的半径|CP1|432135324 23.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x2(y53)2329.5(2014江西)如图，已知抛物线 C：x24y，过点 M(0,2)任作一直线与 C相交于
9、A，B 两点，过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点)(1)证明：动点 D 在定直线上；(2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴)，与直线 y2 相交于点 N1，与(1)中的定直线相交于点 N2，证明：|MN2|2|MN1|2 为定值，并求此定值(1)证明 依题意可设 AB 方程为 ykx2，代入 x24y，得 x24(kx2)，即 x24kx80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1x28.直线 AO 的方程为 yy1x1x；BD 的方程为 xx2.解得交点 D 的坐标为xx2，yy1x2x1，注意到 x1x28 及 x214y1，则有 y
10、y1x1x2x21 8y14y1 2.因此动点 D 在定直线 y2 上(x0)(2)解 依题设，切线 l 的斜率存在且不等于 0，设切线 l 的方程为 yaxb(a0)，代入 x24y 得 x24(axb)，即 x24ax4b0.由 0 得(4a)216b0，化简整理得 ba2.故切线 l 的方程可写为 yaxa2.分别令 y2，y2 得 N1，N2 的坐标为N1(2aa,2)，N2(2aa，2)，则|MN2|2|MN1|2(2aa)242(2aa)28，即|MN2|2|MN1|2 为定值 8.6(2014福建)已知曲线 上的点到点 F(0,1)的距离比它到直线 y3 的距离小 2.(1)求曲
11、线 的方程(2)曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A，直线 y3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M，N.以MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B.试探究：当点 P 在曲线 上运动(点 P 与原点不重合)时，线段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论解 方法一(1)设 S(x，y)为曲线 上任意一点，依题意，点 S 到 F(0,1)的距离与它到直线 y1 的距离相等，所以曲线 是以点 F(0,1)为焦点、直线 y1 为准线的抛物线，所以曲线 的方程为 x24y.(2)当点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变证明如下：由(1)知抛物线 的方程为
12、y14x2，设 P(x0，y0)(x00)，则 y014x20，由 y12x，得切线 l 的斜率ky|xx012x0，所以切线 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y0，得 A(12x0,0)由y12x0 x14x20，y3，得 M(12x06x0，3)又 N(0,3)，所以圆心 C(14x03x0，3)，半径 r12|MN|14x03x0|，|AB|AC|2r212x014x03x023214x03x02 6.所以点 P 在曲线 上运动时，线段 AB 的长度不变方法二(1)设 S(x，y)为曲线 上任意一点，则|y(3)|x02y122，依题意，点 S(x，y)只能在直线 y3 的上方，所以 y3，所以 x02y12y1，化简，得曲线 的方程为 x24y.(2)同方法一