1、第二章 平面向量2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义A级基础巩固一、选择题1已知|b|3,a在b方向上的投影是,则ab为 ()A.B.C3D2解析:由数量积的几何意义知所以ab32.答案:D2设向量a,b满足|ab|,|ab|,则ab()A1B2C3D5解析:因为|ab|2(ab)2a2b22ab10,|ab|2(ab)2a2b22ab6,两式相减得:4ab4,所以ab1.答案:A3已知向量a,b满足|a|2,|b|1,ab1,则向量a与ab的夹角为()A.B.C.D.解析:|ab| ,设向量a与ab的夹角为,则cos ,又0,所以.答案:A4(2015陕西卷)
2、对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A|ab|a|b|B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2D(ab)(ab)a2b2解析:根据ab|a|b|cos ,又cos 1,知|ab|a|b|,A恒成立当向量a和b方向不相同时,|ab|a|b|,B不恒成立根据|ab|2a22abb2(ab)2,C恒成立根据向量的运算性质得(ab)(ab)a2b2,D恒成立答案:B5若向量a与b的夹角为60,|b|4,且(a2b)(a3b)72,则a的模为()A2B4C6D12解析:因为(a2b)(a3b)a2ab6b2|a|2|a|b|cos 606|b|2|a|22|a|9672,所以|a|22|a|2
3、40,所以|a|6.答案:C二、填空题6已知e为一单位向量,a与e之间的夹角是120,而a在e方向上的投影为2,则|a|_解析:因为|a|cos 1202,所以|a|2,所以|a|4.答案:47已知|a|b|c|1,且满足3am b7c0,其中a与b的夹角为60,则实数m_解析:因为3am b7c0,所以3am b7c,所以(3am b)2(7c)2,化简得9m26m ab49.又ab|a| |b|cos 60,所以m23m400,解得m5或m8.答案:8或58已知ab,|a|2,|b|1,且3a2b与ab垂直,则等于_解析:因为(3a2b)( ab)所以( ab)(3a2b)0,所以3 a2
4、(23)ab2b20.又因为|a|2,|b|1,ab,所以12(23)21cos 9020,所以1220,所以.答案:三、解答题9已知|a|1,|b|,(1)若ab且同向,求ab;(2)若向量ab的夹角为135,求|ab|.解:(1)若ab且同向则a与b夹角为0,此时ab|a|b|.(2)|ab| 1.10设向量a,b满足|a|b|1,|3ab|.(1)求|a3b|的值;(2)求3ab与a3b夹角的正弦值解:(1)由|3ab|,得(3ab)25,所以9a26abb25.因为a2|a|21,b2|b2|1,所以96ab15.所以ab.所以(a3b)2a26ab9b2169115.所以|a3b|.
5、(2)设3ab与a3b的夹角为.因为(3ab)(a3b)3a28ab3b231831.所以cos .因为0 180,所以sin .所以3ab与a3b夹角的正弦值为.B级能力提升1点O是ABC所在平面上一点,且满足,则点O是ABC的()A重心 B垂心C内心 D外心解析:因为,所以()0,即0, 则.同理,.所以O是ABC的垂心答案:B2如图所示,ABC中C90且ACBC4,点M满足3,则_解析:()4.答案:43在四边形ABCD中,已知AB9,BC6,2.(1)若四边形ABCD是矩形,求的值;(2)若四边形ABCD是平行四边形,且6,求与夹角的余弦值解:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以0.由2,得,.所以()()2368118.(2)由题意,所以2361818.又6,所以186,所以36.又|cos 96cos 54cos ,所以54cos 36,即cos .所以与夹角的余弦值为.