1、目标导航1了解周期函数与最小正周期的意义(难点)2会利用周期的定义和诱导公式求三角函数的周期(重点)3会判断三角函数的奇偶性(重点)知识点一 周期函数阅读教材 P34P35 前 2 行，完成下列问题(1)对于函数 f(x)，如果存在一个，使得当 x 取定义域内的值时，都有，那么函数 f(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期非零常数 T每一个f(xT)f(x)非零常数 T最小正数【思考】周期函数的周期是否唯一？【提示】不唯一，若 f(xT)f(x)，则 f(xnT)f(x)，(nZ 且n0)即若 T
2、是 f(x)的周期，则 nT(nZ 且 n0)也是 f(x)的周期【练习 1】已知函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，且 f(0)1，则 f(4)_.解析：由题意 f(4)f(022)f(0)1.答案：1知识点二 正弦函数与余弦函数的周期阅读教材 P35，完成下列问题函数 ysinx 与函数 ycosx 都是周期函数，其周期都是 2k(kZ，且 k0)，最小正周期为 2.【练习 2】(正确的打“”，错误的打“”)(1)若没有特别说明，求函数的周期就是求函数的最小正周期()(2)函数 y3sinx 的最小正周期为 2.()(3)凡是周期函数都存在最小正周期()知识点三 正弦函数与余弦函数的奇
3、偶性阅读教材 P37“思考”下 5 行内容，完成下列问题(1)对于 ysinx，xR 恒有 sin(x)sinx，所以正弦函数ysinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称；(2)对于 ycosx，xR 恒有 cos(x)cosx，所以余弦函数 ycosx 是偶函数，余弦曲线关于 y 轴对称【练习 3】(1)下列函数是偶函数的是()Aysinx By2sinxCy1sinxDy|sinx|(2)函数 ycosx，x3，4 是()A偶函数B奇函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数答案：(1)D(2)C2 新视点名师博客1.“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T
4、是非零常数，周期 T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次2周期函数定义中的“f(xT)f(x)”是对定义域中的每一个x 值来说的，只有个别的 x 值满足 f(xT)f(x)，不能说 T 是 yf(x)的周期3在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称若是，再判断 f(x)与 f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.3 新课堂互动探究 考点一 求三角函数的周期例 1 求下列函数的周期：(1)y3sin2x3；(2)y|cosx|；(3)y3cos63x；(4)ys
5、in2x4.分析：(1)(2)可结合周期函数定义求解；(3)可通过画函数图象求周期解析：(1)方法一：y3sin2x323sin2x43 3sin2x3f(x4)f(x)y3sin2x3 的周期为 4.方法二：2T2 224.(2)y|cosx|的图象如图所示周期 T.(3)方法一：y3cos63x 3cos3x63cos3x62 3cos3x23 63cos3x6fx23 f(x)y3cos63x 的周期为23.方法二：|3，T2|23.(4)方法一：ysin2x4sin2x42 sin2x4f(x)f(x)ysin2x4 的周期为.方法二：2，T2 22.点评：求三角函数的周期，通常有三种
6、方法：(1)定义法(2)公式法，对 yAsin(x)或 yAcos(x)(A，是常数，且 A0，0)，T2|；如本例(1)可用公式求解如下：T224.(3)观察法(图象法)三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为 1.变式探究 1 求下列函数的最小正周期(1)ysin2x3；(2)f(x)2sinx26；(3)f(x)cos2x3；(4)f(x)|sinx|.解析：(1)sin2x32 sin2x3sin2x3 sin2x3ysin2x3 的周期是.(2)方法一：2sinx2622sin12x46
7、 2sinx26f(x4)f(x)y2sinx26 的周期是 4.方法二：12，T2124.(3)f(x)cos2x3 cos2x3cos2x32 cos2x3cos2x3f(x)f(x)T.(4)y|sinx|的图象如图所示周期 T.考点二 判断三角函数的奇偶性例 2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2sin2x；(2)f(x)1sinxcos2x1sinx；(3)f(x)1cosx cosx1.分析：先判断函数的定义域是否关于原点对称，若对称，再考查 f(x)与f(x)的关系解析：(1)显然 xR.f(x)2sin(2x)2sin2xf(x)，f(x)是奇函数(2)函数应满足 1sinx
8、0，函数定义域为xR|x2k32，kZ，显然定义域不关于原点对称，该函数是非奇非偶函数(3)由1cosx0cosx10，得 cosx1，x2k(kZ)，此时 y0，故该函数既是奇函数又是偶函数点评：判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是正确判断奇偶性的前提另外还要注意诱导公式在判断 f(x)与 f(x)之间关系时的应用变式探究 2 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)3cos2x；(2)f(x)sin3x4 32；(3)f(x)xcosx.解析：(1)xR，f(x)3cos(2x)3cos2xf(x)f(x)3cos2x 是偶函数(2)xR，f(x)sin3x4 32 cos3
9、x4，f(x)cos3x4cos3x4 f(x)，函数 f(x)sin3x4 32 是偶函数(3)xR，f(x)xcos(x)xcosxf(x)f(x)xcosx 是奇函数.考点三 函数的周期性与奇偶性的综合应用例 3 若函数 f(x)是以2为周期的偶函数，且 f3 1，求 f176 的值分析：利用 fx2 f(x)，f(x)f(x)来求解解析：f(x)的周期为2，且为偶函数，f176 f36 f626f6，f6 f23 f3 f3 1，f176 1.点评：(1)解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可(2)如果一个函数是周期函数，倘若要
10、研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质变式探究 3 若 f(x)是以 1 为周期的奇函数，且当 x(1,0)时，f(x)3x1，求 f112 的值解析：f(x)是以 1 为周期的函数，f112 f512 f12.又当 x(1,0)时，f(x)3x1，f12 312 112.又f(x)为奇函数f12 12，f112 12.4 新思维随堂自测1.函数 ysin(cosx)的最小正周期是()A.2 B C2 D4解析：令 f(x)sin(cosx)，则由 fx2 sincosx2 sin(sinx)sin(s
11、inx)f(x)排除 A；由 f(x)sincosx sin(cosx)sin(cosx)f(x)排除 B；由 f(x2)sincosx2 sin(cosx)f(x)可知选 C.答案：C2函数 f(x)2sin2x 是()A最小正周期为 2 的奇函数B最小正周期为 2 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数解析：f(x)2cosx，T2，f(x)是偶函数答案：B3设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)，f(x2)f(x)，则函数 yf(x)的图象是()ABCD解析：由题意知 f(x)是周期为 2 的偶函数，故选 B.答案：B4已知 aR，函数 f(x)sinx|a|，
12、xR 为奇函数，则 a 等于()A0 B1C1 D1解析：方法一：f(x)在 R 上为奇函数，f(0)0，a0.方法二：f(x)为奇函数，f(x)f(x)，即sin(x)|a|sinx|a|，sinx|a|sinx|a|.|a|0，即 a0.答案：A5若 f(x)是奇函数，当 x0 时，f(x)x2sinx，则当 x0 时，f(x)_.解析：当 x0 时，x0.f(x)(x)2sin(x)x2sinx.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)x2sinx.答案：x2sinx5 辨错解走出误区易错点：参数问题出错【典例】求函数 yasinxb(a，bR，a0)的最值【错解】因为1sinx1，所以当 sinx1 时，ymaxab；当 sinx1 时，yminab.【错因分析】上面的解法忽略了对题目中参数的讨论，对于题中参数 a 的不同取值，对应的最值也是不同的【正解】(1)若 a0，则当 sinx1 时，ymaxab；当 sinx1 时，yminab.(2)若 a0，则当 sinx1 时，ymaxab，当 sinx1 时，yminab.【反思】对于函数式中的参数，要注意加以讨论，以避免出现错误.
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