1、12数列的函数特性学 习 目 标核 心 素 养1了解递增数列、递减数列、常数列的概念2掌握判断数列增减性的方法(重点)3利用数列的增减性求最大值、最小值(难点、易混点)1通过数列的函数性质的学习培养学生的数学抽象素养2借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理素养数列的单调性阅读教材P6P7“例3”以上部分，完成下列问题(1)数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法(2)数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项an1an递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项an1an常数列各项都相等an1an思考：
2、(1)若函数f(x)在1，)上单调递增，那么数列anf(n)也单调递增吗，反之成立吗？提示若函数f(x)在1，)上单调递增，则函数anf(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)，数列anf(n)单调递增，但f(x)在1，)上不是单调递增(2)如何判断数列的单调性？提示比较数列中相邻的两项an与an1的大小来确定其单调性1数列ann1是()A递增数列 B递减数列C常数列 D不能确定Aan1an(n1)1(n1)10，故an1an，所以ann1是递增数列2若数列an为递增数列，其通项公式为ankn2，则实数k的取值范围是_(0，)由题意知an1ank(n1)2(kn2)k0，即实数k的取值范围
3、是(0，)3下列数列：1,2,22,23，；1,05,052,053，；7,7,7,7，；2,2，2,2，2，递增数列是_，递减数列是_，摆动数列是_，常数列是_(填序号)答案4判断数列的单调性，并加以证明解数列是递增数列，证明如下：记an，则1，又an0，则an1an所以，是递增数列数列的图像【例1】在数列an中，ann28n(1)画出an的图像；(2)根据图像写出数列an的增减性解(1)列表n123456789an71215161512709描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像：(1，7)，(2，12)，(3，15)，(4，16)，(5，15)，(6，12)，(7，7)，
4、(8,0)，(9,9)，图像如图所示(2)数列an在1,4上是递减的，在5，)上是递增的画数列的图像的方法,数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以项数n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N(或它的有限子集1，2，3，n)，所以其图像是一群孤立的点.1已知数列an的通项公式为an，画出它的图像，并判断增、减性解图像如图所示，该数列在1,2,3,4上是递减的，在5,6，上也是递减的数列的单调性【例2】判断数列的增减性解an，an1法一：(作差法)an1an，nN，an1an0，即an1an，数列为递增数列法二：(作商法
5、)nN，an011，an1an，数列为递增数列法三：(构造函数法)令(x)(x1)，则(x)，函数(x)在1，)上是增函数，数列是递增数列数列单调性的判断方法(1)利用图像是上升还是下降来判断数列的单调性；(2)若已知数列的通项公式anf(n)，则可通过比较an1与an的大小来判断数列的单调性，在比较an1与an的大小时，常用作差比较法或作商比较法比较；(3)通过考察函数yf(x)(x1)的单调性来判断数列anf(n)的单调性.2(1)若数列an是递减数列，则其通项公式可能是()Aan2n Bann2Can Danlog2n(2)若ann2bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是_(1)C(2
6、)(3，)(1)由于函数f(x)是减函数，故数列an是递减数列，选C(2)由题意知an1an(n1)2b(n1)(n2bn)2n1b0恒成立，即2n1b0，b2n1恒成立，而nN时，2n1的最大值为3(n1时)，所以b3，即b的取值范围为(3，)数列单调性的应用探究问题1(1)数列an中，an1，试判断an的增减性(2)数列an中，an，试判断an的增减性提示(1)因为函数y1在(0，)上单调递减，所以数列an1是递减数列(2)由an1，由(1)可知，an是递减数列2已知无穷数列an的通项公式为an(nN)，试判断数列an的增减性；数列an有最大项还是有最小项？作出判断并求出来提示an1，当n
7、9时，an1，当n10时，an1，且随n的递增an递减，故数列an有最大项，其最大项为a10【例3】在数列an中，an(n1) (nN)(1)求证：数列an先递增后递减；(2)求数列an的最大值思路探究：法一：先考虑数列an的单调性，然后利用单调性求最值法二：利用不等式组寻求最大值解法一(单调性法)：(1)令1(n2)，即1，整理得，解得n10令1，即1，整理得，解得n9所以数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列an先增后减(2)由(1)知a9a10为最大值法二：(不等关系法)(1)假设数列an中存在最大项因为an1an(n2)(n1)，当n9时，an1an0，即an1an；当
8、n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an，故a1a2a3a9a10a11a12，所以数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减(2)由(1)知a9a10为最大值1(变条件)将例题中的“an(n1)”换为“an2n29n3”如何求an中的最大项解由an2n29n32n为正整数，当n2时，an取得最大值，a222292313即数列an的最大项为a2132(变结论)在例3中，若n的取值范围是nN，且n10，求数列an的最小项解由例3知数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减，所以a1最小，a1数列中最大项与最小项的两种求法(1)若求最大项an，则an应满足若
9、求最小项an，则an应满足但要与a1作比较.(2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意nN这一条件.1判断一个数列的增减性，可利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列an的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性2有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列是递增数列()(2)数列的图像是一群孤立的点()(3)递减数列一定有最大项，递增数列一定有最小项()答案(1)(2)(3)2已知an1an30，则数列an是()A递增数列 B递减数列C摆动数列 D常数列A因为an1an30，即an1an30，所以数列是递增数列3下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，B1,2，3,4，C1，D1，C由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)故既是无穷数列又是递增数列的是选项C4已知数列an满足a11，an1(1)求a2，a3，a4；(2)求证：an2an解(1)a20；a31；a40(2)证明：an2an
