1、（全国 I 卷）2021 届高三数学下学期 5 月押题卷 理 注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第卷（选择题）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合22,2,Mx y xyxyZZ，则集合M 的真子集的个数为（
2、）A921 B821 C52 D421 2已知复数2i1 2imz，若 z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围为（）A,6 B,4 C4,D6,3双曲线22221(0,0)ababyx的一条渐近线方程为32yx，则该双曲线的离心率为（）A213 B217 C72 D 2 77 4已知向量1,0a，3b，且aab，则2ab（）A2 B 2 C52 D3 5函数 2221 sin12xxxf xxx 的图象大致是（）A B C D 6已知 x，yR，则“13xy”是“2291xy”的（）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 7已知,m n 是两条不同直
3、线，,是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若mn，n，则m B若m，n且/m ，n/，则/C若m，n/且/，则mn D若，则 8已知直线 ykx与圆22680 xyxy相交于两点，且这两点关于直线20 xyb对称，则,k b 的值分别为（）A2,5kb B2,5kb C2,5kb D2,5kb 9任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数 2xf xe，若将 f x 表示成一个偶函数 g x 和一个奇函数 h x 的差，且 21h xag x对 xR 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A 1,3 B1,C 1,2 D1,4 10在体积为 8 的正方体1111AB
4、CDA BC D内部任意取一点 P，能使四棱锥 PABCD，11PABB A，11PBBC C，11PCC D D，11PDD A A，1111PA B C D的体积大于 23的概率为（）A 13 B 16 C 19 D 18 11已知函数34()sincos55f xxx（04x）的值域为 4,15，其中0，则cos()4 的取值范围是（）A73,25 5 B7,125 C71,25 D74,25 5 12已知椭圆2221(10)yxbb的左右焦点分别为12,F F，点M 是椭圆上一点，点 A 是线段12F F 上一点，且121223MFFFMA，32MA，则该椭圆的离心率为（）A32 B
5、12 C 2 23 D33 第卷（非选择题）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13411 33xxx的展开式中3x 的系数为_ 14若函数233xxyee的值域为1,7，试确定 x 的取值范围是_ 15在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且sinsinACa sinsinbcBC，2b，则ABC的周长的最大值是_ 16已知函数 2lg1sin2f xxxxx ，若(22)0 xf axe在(0,)x上恒成立，则正实数a 的取值范围为_ 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分）已知 na
6、数列满足13a，21393nnnaa （1）证明：数列 3nna为等差数列；（2）求数列2nna 的前n 项和nS 18（12 分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有 2000 位市民报名参加，其中男性 1200 人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了 100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在 450950 分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于 750 分的得分者称为“高分选手”（1）求 a 的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从分数落在550
7、,650，750,850 内的两组市民中抽取 10人，再从这 10 人中随机抽取 3 人，记被抽取的 3 名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高分选手”的女性有 15 人，完成下列2 2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？属于“高分选手”不属于“高分选手”合计 男生 女生 合计 （参考公式：22n adbcKabcdacbd，期中nabcd ）2P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6
8、35 7.879 10.828 19（12 分）如图所示，直角梯形 ABCD 中，/AD BC，ADAB，222BCABAD，四边形 EDCF 为矩形，2CF，平面 EDCF 平面 ABCD （1）求证：BDF 平面 DCF；（2）求二面角 A BEF的余弦值 20（12 分）椭圆C 的方程为222210 xyabab，过椭圆左焦点1F 且垂直于 x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点 P，椭圆的右焦点为2F，已知213tan12PF F，椭圆过点13,2A（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若12MAAF，22M
9、BBF，求证：12为定值 21（12 分）已知函数 2ln xf xax（1）试讨论函数 f x 的零点个数；（2）设 2g xxf x，12,x x 为函数 g x 的两个零点，证明：121x x 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 xOy 中，已知曲线C 的参数方程为32cos1 2sinxy （为参数），直线l 的方程为13232xtyt（t 为参数）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；（2）过点 3,0P，倾斜角为 3
10、的直线与曲线C 交于,A B 两点，求 PAPB的值 23（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】已知函数()2622f xxx（1）求不等式()12f x 的解集；（2）若a，b，c 为正实数，函数()f x 的最小值为t，且满足 2abct ，求222abc的最小值 答案解析 1.【答案】A【解析】集合 1,0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1M ，故其真子集的个数为921 个，故选 A 2.【答案】B【解析】2i 1 2i22 i1 2i 1 2i5545422 immzmmm，因为复数 z 在复平面内对应的点位于第三象限，则0505422mm，解得4m ，
11、故选 B 3.【答案】A【解析】由题意，双曲线22221(0,0)ababyx的一条渐近线方程为32yx，可得32ab，所以:3:2:7a b c，解得213e，故选 A 4.【答案】D【解析】由2()()00 aabaabaa b，因为1a，所以1 a b，所以2222(2)443 ababaa bb，故选 D 5.【答案】B【解析】2222221 sin21 sin2sin11112xxxxxxxxf xxxxx ，令 22sin1xxg xx，则 22sin1xxgxg xx，故 g x 为R 上的奇函数，故 f x 的图象关于0,1 对称，故排除 C；又当0 x 时，令 2sinh x
12、xx，则 2cos0h xx，故 00h xh，故当0 x 时，1f x，故排除 D；而sin1102f ，故排除 A，故选 B 6.【答案】A【解析】2291xy 表示顶点分别为 3,0,3,0,0,1,0,1的椭圆上及椭圆内部区域内的点，13xy表示顶点 3,0,3,0,0,1,0,1的菱形上以及菱形内部区域内的点，故可得13xy是2291xy 的充分不必要条件，故选 A 7.【答案】C【解析】A 选项，当mn，n，m时，不能得出m，故该选项不正确；B 选项，由题得/或,相交，所以该选项错误；C 选项，由题得m，又n/，所以 mn，所以该选项正确；D 选项，l，l时，不能得出，故该选项错误
13、，故选 C 8.【答案】B【解析】直线 ykx与圆22680 xyxy的两个交点关于直线20 xyb对称，直线20 xyb经过圆心3,4且直线 ykx与直线20 xyb垂直，3240112bk ，解得52bk ，故选 B 9.【答案】C【解析】由 2xf xg xh xe，有 2xfxgxhxg xh xe，解得 xxg xee，xxh xee，21h xag x，可化为21xxxxeea ee，有2221xxxxeea ee，有250 xxxxeea ee，得5xxxxaeeee，又由2xxee，有51222a，故选 C 10.【答案】D【解析】作与正方体每个面平行且距离为 12的截面，从而
14、可以在正方体内部得到一个小的正方体，由题意可得当 P 点落在小正方体内部时，能使四棱锥 PABCD，11PABB A，11PBBC C，11PCC D D，11PDD A A，1111PA B C D的体积大于 23，根据几何概型概率公式知 31818=P，故选 D 11.【答案】D【解析】因为 sinf xx（其中43sin,cos,0552）令tx，sing tt，因为0,04x，所以4t 因为 45g ，且02，所以 45g，12g ，故 42，即 422 当022x时，cosyx单调递减，因为4cossin25，221697cos 2cos2sincos252525，所以74cos,2
15、545，故选 D 12.【答案】B【解析】设11MFr，22MFr，则 1222rra，由余弦定理得22212121222cos 3F FMFMFMF MF，即2222121 2121 21 244crrrrrrrrrr，所以21 24 4rrc，因为1212FFFMMAAMFSSS，所以1 212111sinsinsin22332 32rrrMArMA，整理得1 212rrrrMA，即234422c，整理得214c，所以12c，1a，12cea，故选 B 13.【答案】27【解析】由24243441C3C3273xxxxx，所以3x 的系数为 27，故答案为 27 14.【答案】,0ln 2
16、,ln 4【解析】令xet，则233ytt；令21337tt，解得 11t 或24t，即 11xe 或24xe，解得0 x 或ln 2ln 4x，故 x 的取值范围是,0ln 2,ln 4 15.【答案】6【解析】因为sinsinsinsinACabcBC，所以acabcbc，即222acbac，所以可得234acac，所以22342acac，解得4ac，当且仅当2ac时等号成立，故max4ac，所以ABC的周长的最大值为 6 16.【答案】02a【解析】因为 221lg1sin2lgsin21f xxxxxxxxx ；易得 f x 为奇函数，且 f x 为增函数；又因为 0lg1 02 00
17、f ，所以(22)0 xf axe在0,上恒成立 220 xf axef在0,上恒成立，所以220 xaxe在0,上恒成立，所以220 xeax在0,上恒成立，设 22xh xeax，所以 2xh xea，且22xe，当2a 时，20 xh xea，所以 h x 在0,上递增，所以 00h xh，满足；当2a 时，令 20 xh xea，所以ln 2ax，所以 h x 在 0,ln 2a上单调递减，在 ln,2a上单调递增，所以 ln002ahh，这与 0h x 矛盾，所以不满足，综上可知02a，故答案为02a 17.【答案】（1）证明见解析；（2）1121 35244nnnnS【解析】（1）
18、依题，在21393nnnaa 两边同时除以23n，得11133nnnnaa，1113a，故数列 3nna是以 1 为首项，1 为公差的等差数列（2）由（1）得113nnann，可得3nnan，所以232nnnnan，则数列2nna 的前n 项和1213321 32 322223 33nnnSn ，所以 1231231 32 33 332222nnnSn ，令1231 32 33 33nnTn ，则234131 32 33 33nnTn ，由可得1231131 3233333 31 3nnnnnTnn ，所以113 3342nnnnT，所以11112 1 221 33 3352421 244nn
19、nnnnnnS 18.【答案】（1）0.0035a，平均数 670，中位数 650，众数 600；（2）分布列见解析，期望为 910；（3）填表见解析，有97.5%的把握认为【解析】（1）由题意知1000.00150.00250.00150.0011a，解得0.0035a，样本平均数为500 0.15600 0.35700 0.25 800 0.15 900 0.10670 x，中位数 650，众数 600（2）由题意，从550,650 中抽取 7 人，从750,850 中抽取 3 人，随机变量 x 的所有可能取值有 0，1，2，3 337310C C0,1,2,3CkkP xkk，所以随机变
20、量 X 的分布列为：X 0 1 2 3 P 35120 63120 21120 1120 随机变量 X 的数学期望 6321192312012012010E X （3）由题可知，样本中男性 60 人，女性 40 人，属于“高分选手”的 25 人，其中女姓 15人；得出以下2 2列联表；属于“高分选手”不属于“高分选手”合计 男生 10 50 60 女生 15 25 40 合计 25 75 100 222100 10 25 15 50505.5565.02425 75 40 609n adbcKabcdacbd，所以有97.5%的把握认为该市市名属于“高分选手”与性别有关 19.【答案】（1）证
21、明见解析；（2）155【解析】证明：连接 BD，依题可得2BD，2CD，222BDCDBC，BDCD，又四边形 EDCF 为矩形，平面 EDCF 平面 ABCD，CF 平面 ABCD，CFBD，CFDCC，BD 平面CDF，平面 BDF 平面 DCF （2）取 BC 中点 G，连接 DG 如图，以 D为原点，DA 所在直线为 x 轴，DG 所在直线为 y 轴，DE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A，(1,1,0)B，0,0,2E，1,1,2F，1,1,2BE ，(0,1,0)AB，2,0,2BF ，设平面 ABE 的一个法向量为,x y zn，200 xyzy，不妨设2
22、x，0y，则1z ，2,0,1n；设平面 BEF 的一个法向量为111,x y zm，1111120220 xyzxz，不妨设11x，则11y，11z ，1,1,1m，设向量m 与 n 的夹角为，则cosm nmn，2222222 1 0 1 1 115cos5111201 ，二面角 A BEF的余弦值为155 20.【答案】（1）2214xy；（2）证明见解析【解析】依题可知21bPFa，222213tan2212bacaPF Fcac，所以2212122 3acac，即26360ccaa，解得32ca 又椭圆C 过点13,2A，223114ab，联立可得24a，21b ，椭圆C 的标准方程
23、为2214xy （2）设点 11,A x y、22,B xy，3,0F，由题意可知，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3yk x，联立22314yk xxy，可得2222418 31240kxk xk，由于点2F 在椭圆C 的内部，直线l 与椭圆C 必有两个交点，由韦达定理可得21228 341kxxk，212212441kx xk，12MAAF，22MBBF，00,My，得110111,3,x yyxy，220222,3,xyyxy，1113xx，2223xx，22212121212221212122242 12432418124243333341kkxxx xxxkkkxxxxx x
24、k 21.【答案】（1）见解析；（2）证明见解析【解析】22 1 ln xfxx，当0 xe时，0fx；当 xe时，0fx，所以 f x 在0,e 上单调递增，在,e 上单调递减，当0 x 时，f x ；当 xe时，2f xae；当 x 时，f xa，所以当0a 时，f x 有一个零点；当20ae时，f x 有两个零点；当2ae 时，f x 有一个零点；当2ae 时，f x 没有零点（2）由题意可得函数22ln()xg xxax的定义域为(0,)，3222ln12(1 ln)()2xxxg xxxx，设3()ln1r xxx，所以21()30r xxx，所以函数3()ln1r xxx在(0,)
25、上单调递增，又(1)0r，列表如下：x(0,1)1(1,)()g x 0 ()g x 极小值 所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，设12xx，可得1201xx，2101x，因为 120g xg x，所以 22222221222212ln2ln1111xxxaaxg xgg xgxxxx 22222112lnxxxxx，设函数1()2ln(1)h xxx xx，则22212(1)()10(1)xh xxxxx，函数()h x 在(1,)上单调递增，所以 222212ln(1)0h xxxhx，所以 1210g xgx，即 121g xgx，又函数22ln()xg x
26、xax在(0,1)上单调递减，所以12101xx，所以121x x 22.【答案】（1）4cos:6C，:330lxy；（2）3 【解析】（1）由曲线C 的参数方程，得曲线C 的普通方程为2222314cos4sin4xy，即22314xy，由极坐标与直角坐标的互化公式cosx，siny，得曲线C 的极坐标方程为4cos6，直线l 的极坐标方程为 330 xy （2）设11133,22Att，22133,22Btt，将直线l 的方程为13232xtyt（t 为参数）代入曲线C 的方程：22314xy，得2330tt，所以 123tt，所以123PAPBtt 23.【答案】（1）2,4；（2）16【解析】（1）由()2622f xxx，所以 121262212xxxx ；1313262212xxxx ；334262212xxxx，综上所述2,4x，所以不等式()12f x 的解集为2,4（2）因为 262226228xxxx，所以函数()f x 的最小值为 8，即8t，所以 28abc ，由 a，b，c 为正实数，则2222222221 121644abcabcabc ，所以22216abc，当且仅当112abc时，取等号，故222abc的最小值为 16
