1、广西南宁三中2020届高三数学考试试题二 理（含解析）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项符合）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，然后再求两集合的交
2、集即可【详解】解：由，得，所以，因为，所以，故选：C【点睛】此题考查集合的交集运算，考查绝对值不等式的解法，属于基础题2. i是虚数单位，则复数等于（）A. iB. iC. 1D. 1【答案】A【解析】【分析】根据复数四则运算法则直接求解即可得到结果.【详解】故选：【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.3. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】“a1”“”，“”“a1或a0”，由此能求出结果【详解】aR，则“a1”“”，“”“a1或a0”，“a1”是“”的充分非必要条件故选A【点睛】充分、必要
3、条件的三种判断方法1定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件2等价法：利用与非非，与非非，与非非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法3集合法：若，则是的充分条件或是的必要条件；若，则是的充要条件4. 下列函数中，与函数y的定义域相同的函数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可以求出的定义域为，然后求每个选项函数的定义域即可【详解】解：函数的定义域为，的定义域为；的定义域为；的定义域为；的定义域为，与函数定义域相同的函数为故选：D【点睛】考查函数定义域的定义及求法，指数函数和对数函数的定义域5. 已知，则a
4、, b, c的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：因为，所以由指数函数的性质可得，因此,故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题，属于中档题. 多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质，所以也是常常是命题的热点，对于这类问题，解答步骤如下：（1）分组，先根据函数的性质将所给数据以为界分组；（2）比较，每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小；（3）整理，将各个数按顺序排列.6. 二项式的展开式中常数项为（ ）A. 5B. 10C
5、. -20D. 40【答案】D【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为0，求出，从而可求出展开式中常数项【详解】解：二项式展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中的常数项为，故选：D.【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题7. 等差数列的前项和为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】等差数列的前项和为，且， 解得 故选B【点睛】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用8. 函数yxcos xsin x的图象大致为 ()A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于函数y=xcosx+si
6、nx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当时，y=10，当x=时，y=cos+sin=0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选D.9. 在平面区域内随机取一点，在所取的点恰好满足的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知所取的点应在图中阴影部分.从而其概率为.故本题正确答案为C考点：古典概型10. 下面有5个命题中，真命题的编号是（ ）函数的最小正周期是终边在轴上的角的集合是在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点把函数的图象向右平移得到的图象函数在上是减函数A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式
7、化简，再根据余弦函数的周期公式计算可得；通过的取值，判断终边在轴上的角的集合；构造函数，利用导数可得单调性，进而得出的零点，即两函数交点的个数； 根据三角函数的平移变换规则判断；根据诱导公式，将函数化为余弦型，进而根据余弦函数的单调性，可以判断的真假；进而得到答案【详解】解：，它的最小正周期为，正确；是偶数时，的终边落在轴上，所以错误；设恒成立，所以在上单调递增，而存在唯一零点，即函数的图象和函数的图象只有一个公共点，故错误；把函数的图象向右平移，得到的图象，故正确；函数在上是增函数，故错误故选：A【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，余弦型函数的周期性，终边相同的角，正弦函数的性
8、质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，是解答本题的关键，属于中档题11. 设，分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使 （为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，可得，设，则，进而利用双曲线定义可用表示出，根据勾股定理求得和关系，从而可求出双曲线的离心率【详解】解：因为，所以，设，则，因为，所以可得，因为，所以，则，所以，故选：D【点睛】此题考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义的理解和运用，属于基础题12. 已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（）A. B. C.
9、 D. 【答案】D【解析】【分析】由奇偶性定义可知为奇函数且，由此可得关于对称；由可知关于对称且，由此可知关于对称且，由对称性可知除外，其余零点关于对称，由此可求得结果.【详解】 为奇函数，图象关于对称且图象关于对称 图象关于对称令得： 图象关于对称且有一个零点为，其余零点关于对称所有零点之和为故选：【点睛】本题考查函数奇偶性和对称性的应用，关键是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 在等比数列中，且， _【答案】3【解析】【分析】由等比数列性质可知，根据对数运算法则可求得结果.【详解】故
10、答案为：【点睛】本题考查等比数列下标和性质的应用，涉及到对数运算法则的应用，属于基础题.14. 若向量，的夹角为，且，则向量与向量的夹角为_【答案】【解析】分析】根据题意，设向量与向量的夹角为，因为向量，的夹角为，且，求得和，根据，即可求得夹角为.【详解】设向量与向量的夹角为，向量，的夹角为，且，则又故答案为：【点睛】本题主要考查了求向量的夹角，解题关键是掌握向量的数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题15. 已知函数，则的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式，分类讨论分别计算，再取并集即可；【详解】解：当时，因为，所以解得，当时，时，因为，所以，解得综上可得不等式的
11、解集为故答案为：【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分段函数不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题.16. 已知四面体四个顶点都在球O的球面上，若平面ABC，且，则球O的表面积为_【答案】【解析】【分析】由PB平面ABC，ABAC可得四个直角三角形，可知PC的中点O为外接球球心，不难求解【详解】解：由PB平面ABC，ABAC，可得图中四个直角三角形，且PC为PBC，PAC的公共斜边，故球心O为PC的中点，由AC1，ABPB2，PC3，球O的半径为，其表面积为：9故答案为9【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球
12、半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17. 为了比较两种治疗失眠症药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7
13、 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪种药的效果好？（2）完成茎叶图，从茎叶图来看，哪种药疗效更好？【答案】（1）服用A药睡眠时间平均增加2.3；服用B药睡眠时间平均增加1.6；从计算结果来看，服用A药的效果更好；（2）A药B药608 9 5 6 52 5
14、 8 2 517 9 2 3 4 6 8 1 27 8 2 3 5 6 7 9 3 424 6 1 5 72 5 0 1 32 从茎叶图来看，A的数据大部分集中在第二、三段，B的数据大部分集中在第一、二段，故A药的药效好.【解析】(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为.由观测结果可得：(0.61.21.21.51.51.82.22.32.32.42.52.62.72.72.82.93.03.13.23.5)2.3，(0.50.50.60.80.91.11.21.21.31.41.61.71.81.92.12.42.52.62.73.2)1.6.由以上计算结果可得，因此可看出A药
15、的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好考点：茎叶图、平均数.18. 在中，角所对的边分别为，已知的面积，（）求角；（）求周长的取值范围【答案】（）； （）【解析】【分析】（）由三角形面积公式可得，利用正弦定理边化角可配凑出余弦定理的形式，求得，根据的范围可求得结果；（）根据（）中结论可求得，由正弦定理得到，将三角形周长利用三角恒等变换知识可化为，根据的范围，结合正弦函数的图象与性质可求得的范围，即为所求周长的范围.【详解】（）由得：，由正弦定理得： （）由（
16、）知： 又 ，的周长即， 即周长的取值范围为【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用、三角形周长取值范围的求解等知识；求解周长的取值范围时，通常利用正弦定理将边化为角，根据三角恒等变换的知识将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是忽略角所处的范围，造成求解错误.19. 已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（I）证明：平面平面；（）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值. 图一图二【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)设AC中点为O,证明PO垂
17、直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.【详解】（）设的中点为，连接，.由题意，得，.因为在中，为的中点，所以，因为在中，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（）由（）知，平面，所以是直线与平面所成的角，且，所以当最短时，即是的中点时，最大.由平面，所以，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则由得：.令，得，即.设平面的法向量为，由得：，令，得，即.由图可知，二面角的余弦值为.【点睛】本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.
18、20. 已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.（1）求抛物线C的方程；（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（）直线的斜率一定存在，可设斜率为，直线为，设，由可得，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围【详解】解：（）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.抛物线的准线为，解得，抛物线的方程为.（）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.设，由消去得，.由于抛物线也是函数
19、的图象，且，则：.令，解得，从而.同理可得， .，的取值范围为.【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题21. 设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上的最小值是4，求的值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（I）求得函数的的导航，分类讨论即可求解函数的单调区间，得到答案.（II）由（I）知，当时，函数在上单调递增，此时最小值不满足题意；当时，由（I）得是函数在上的极小值点，分类讨论，即可求解.【详解】（I）.当时，在上单调递增；当时，解得，由解得.综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减
20、.（II）由（I）知，当当时，函数在上单调递增，函数在上的最小值为，即，矛盾.当时，由（I）得是函数在上的极小值点.当即时，函数在上单调递增，则函数的最小值为，即，符合条件.当即时，函数在上单调递减，则函数的最小值为即，矛盾.当即时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，则函数的最小值为即.令（），则，在上单调递减，而， 在上没有零点，即当时，方程无解.综上，实数的值为.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单
21、调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线（1）求参数方程；（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】【分析】（1）设，根据得点的坐标，代入即得的参数方程；（2）先求，的极坐标方程，再分别代入求极径，则可求得【详解】解：（1）设，则由条件知因为点在
22、上，所以所以的参数方程为（为参数）（2）曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为 射线与的交点的极径为， 射线与的交点的极径为所以【点睛】本题考查转移法求轨迹方程、参数方程化普通方程、普通方程化极坐标方程，考查基本分析求解能力，属中档题.23. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（）ab+bc+ac；（）.【答案】（）证明见解析；（II）证明见解析.【解析】【详解】（）由，得：，由题设得，即，所以，即.（）因为，所以，即，所以.本题第（）（）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
