1、第三节平行关系 考纲传真1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题1直线与平面平行的判定与性质(1)判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(2)性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行(3)符号与图形语言2.平面与平面平行的判定与性质(1)判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行(3)符号
2、与图形语言1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行()(2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条()(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行()(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列命题中，正确的是()A若a，b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面B若直线a和平面满足a，那么a与内的任何直线平行C若直线a，b和平面满足a，b，那么abD若直线a，b和平面满足ab，a，b，则bD根据线面平行
3、的判定与性质定理知，选D.3(2015北京高考)设，是两个不同的平面，m是直线且m，“m ”是“ ”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件B当m时，过m的平面与可能平行也可能相交，因而m/；当时，内任一直线与平行，因为m，所以m.综上知，“m ”是“ ”的必要而不充分条件4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是_平行如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是BDD1的中位线，EFBD1，又EF平面ACE，BD1 平面ACE，BD1平面ACE.5(2017河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，是三个
4、不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，m，则m；若，则.其中是真命题的是_(填上序号)，mn或m，n异面，故错误；易知正确；，m或m，故错误；，或与相交，故错误 与线、面平行相关命题真假的判断(2015安徽高考)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若，垂直于同一平面，则与平行B若m，n平行于同一平面，则m与n平行C若，不平行，则在内不存在与平行的直线D若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面DA项，可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设
5、m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故D项正确规律方法1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项2(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确变式训练1(2017唐山模拟)若m，n表示不同的直线，表示不同的平面，则下列结论中正确的是()A若m，mn，则nB若m，n，m，n，则C若，m，n，则mnD若，m，nm，n，则nD在A中，若m，mn，
6、则n或n，故A错误在B中，若m，n，m，n，则与相交或平行，故B错误在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误在D中，若，m，nm，n，则由线面平行的判定定理得n，故D正确直线与平面平行的判定与性质(2016南通模拟)如图731所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点(1)当等于何值时，BC1平面AB1D1? (2)若平面BC1D平面AB1D1，求的值图731 解(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时1. 2分连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，点O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1
7、分别为A1B，A1C1的中点，OD1BC1. 4分又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1.当1时，BC1平面AB1D1. 6分(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，8分，又由题(1)可知，1，1，即1. 12分规律方法1.判断或证明线面平行的常用方法有：(1)利用反证法(线面平行的定义)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)2利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线常利用三角
8、形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线变式训练2(2014全国卷)如图732，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点图732(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离解(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EOPB. 3分因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC. 5分(2)由VPAABADAB，又V，可得AB.作AHPB交PB于点H. 7分由题设知BC平面PAB，所以BCAH，故AH平面PBC.在R
9、tPAB中，由勾股定理可得PB，所以AH.所以A到平面PBC的距离为. 12分平面与平面平行的判定与性质如图733所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.图733证明(1)G，H分别是A1B1，A1C1的中点，GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1. 2分又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面. 5分(2)在ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG. 7分A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形，则
10、A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG. 10分A1EEFE，平面EFA1平面BCHG. 12分迁移探究在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD平面A1B1BA.证明 如图所示，连接HD，A1B，D为BC1的中点，H为A1C1的中点，HDA1B. 5分又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，HD平面A1B1BA. 12分 规律方法1.判定面面平行的主要方法：(1)面面平行的判定定理(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)2面面平行的性质定理的作用：(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的
11、指导思想解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行变式训练3(2016山东高考) 在如图734所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB.图734(1)已知ABBC，AEEC，求证：ACFB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH平面ABC.证明(1)因为EFDB，所以EF与DB确定平面BDEF. 2分如图，连接DE.因为AEEC，D为AC的中点，所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDED，所以AC平面BDEF. 4分因为FB平面BDEF，所以ACFB. 5分(2)如图，设FC的
12、中点为I，连接GI，HI.在CEF中，因为G是CE的中点，所以GIEF. 8分又EFDB，所以GIDB.在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC.又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC. 12分 思想与方法1线线、线面、面面平行的相互转化其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化2直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.易错与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误2(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交3在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用
