1、立体几何综合测试第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为()A. B. C3 D42.用斜二测画法画出的一图形的直观图是一个如图所示的面积为2的等腰梯形OABC，则原图形的面积是()A10 B8C6 D43(2017衡阳一联)一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,1)，(1,0,0)，(2,2,0)，(2,0,0)，画该三棱锥三视图的俯视图时，从x轴的正方向向负方向看为正
2、视方向，从z轴的正方向向负方向看为俯视方向，以xOy平面为投影面，则得到俯视图可以为()4(2017长春三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A20 B18C142 D1425已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面，有以下四个命题：若ma，nb，且，则mn；若ma，nb，且，则mn；若ma，nb，且，则mn；若ma，nb，且，则mn.其中真命题的序号是()A BC D6(2017贵阳二模)在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面
3、ABC7(2017江西重点中学协作体联考(二)如图，在长方体ABCDABCD中，下列直线与平面ADC平行的是()ABC BAB CAB DBB8如图所示，点P在正方体ABCD所在的平面外，PA平面ABCD，PAAB，则PB与AC所成的角是()A90 B60C45 D309已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的表面积为9，则正方体的棱长为()A. B3C. D210如图所示，AB是O的直径，VA垂直于O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC11(2017郑
4、州一模)如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，则这个二面角的大小是()A90 B60C45 D3012(2017合肥二模)如图，正四面体ABCD的顶点C在平面内，且直线BC与平面所成的角为45，顶点B在平面内的射影为点O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面所成角的正弦值等于()A. B.C. D.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13(2017昆明一模)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若，m，则m；若n，mn，则m且m.其中真命题的个数是_14(2016天津，
5、11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3.15如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_16若直线l不平行于平面，且l，则下列结论正确的是_(填写序号)内的所有直线与l异面内不存在与l平行的直线内存在唯一的直线与l平行内的直线与l都相交三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)如图，长方体ABCDA1B1C1D1
6、中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值18(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，ACB90，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，ACBC1，AA12.(1)求证：CF平面AB1E；(2)求三棱锥CAB1E的高19(本小题满分12分)(2016课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，
7、N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积20(本小题满分12分)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABAC1，BB12，ABB160.(1)证明：ABB1C；(2)若B1C2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值21(本小题满分12分)如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为CD的中点，F为AE的中点现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列问题：(1)在线段AB上是否存在一点K，使BC平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由；(2)若平面ADE平面ABCE，求证：平面BDE平面ADE.22(本小题满分
8、12分)(2016四川卷，17)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.1A圆锥的底面半径为1，母线长为，所以侧面展开图面积为.2D设等腰梯形的高为h，则OCh，原梯形的高为2h，面积为4.3D由题意得A为正视图，B为侧视图，D为俯视图，故选D.4A由三视图可得该几何体的直观图如图所示，其为一个正方体截掉4个角后形成的几何体，故该几何体的表面积为S224224 20.故选A.5D中m，n不一定平行，还可能垂直中m，n不一定平行，还可能异面6C如图，D、F分
9、别为AB、CA的中点，DFBC.BC平面PDF，故A正确四面体PABC为正四面体，P在底面ABC内的射影O在AE上PO平面ABC，PODF.又E为BC的中点，AEBC，AEDF.又POAEO，DF平面PAE，故B正确PO平面PAE，PO平面ABC，平面PAE平面ABC，故D正确四个结论中不成立的是C.7B连接AB，ABCD，AB平面ADC.8B将其放入正方体ABCDPQRS中，连接SC，AS，则PBSC，ACS是PB与AC所成的角，ACS为正三角形，ACS60，PB与AC所成的角是60，故选B.9C设球的半径为R，4R29，R，又球的直径与其内接正方体的体对角线相等，该正方体的体对角线长为3，
10、故其棱长为，故选C.10DVMMA，VNNC，MNAC，又ACABA，MN和AB不可能平行，排除A；VA面ABC，VABC，又BCAC，BC面VAC，面VBC面VAC，故D正确，BCMN，排除B；OCA90，OC和面VAC不垂直，排除C，故选D.11A如图，连接BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BDDCa，BCACa，所以BDC90，故选A.12A四边形OBAC中，顶点A与点O的距离最大，O、B、A、C四点共面，设此平面为，BO，BO，如图，过点D作DH平面ABC，垂足为H，连接HC，设正四面体ABCD的棱长为1，则在RtHCD中，CHBC.BO，直线BC与平面所成的角为45，BCO45
11、，结合HCB30得HCO75，因此H到平面的距离dCHsin 75sin(4530)()，过点D作DE于E，连接CE，则DCE就是直线CD与平面所成的角，DH，且DH，DH，由此可得点D到平面的距离等于点H到平面的距离，即DE，在RtCDE中，sinDCE，即直线CD与平面所成角的正弦值等于.故选A.131解析：若n，则内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故错误；若，则，若m，则m，故正确；有可能m或m，显然错误142解析：四棱锥的底面是平行四边形，由三视图可知其面积为212 m2，四棱锥的高为3 m，所以四棱锥的体积V232 m3.15.解析：如图，过D作DGAF，垂足为G，连接GK，平
12、面ABD平面ABC，DKAB，DK平面ABC，DKAF.AF平面DKG，AFGK.容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点t 的取值范围是.16解析：如图，设lA，内直线若经过A点，则与直线l相交；若不经过点A，则与直线l异面17解析：(1)交线围成的正方形EHGF如图：3分(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确).10分18解析：(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG(图略)
13、，F，G分别是AB，AB1的中点，FGBB1，FGBB1.E为侧棱CC1的中点，FGEC，FGEC，四边形FGEC是平行四边形，CFEG，CF平面AB1E，EG平面AB1E，CF平面AB1E.(2)三棱锥ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，BB1平面ABC.又AC平面ABC，ACBB1，ACB90，ACBC，BB1BCB，AC平面EB1C，ACCB1，VAEB1CSEB1CAC1.AEEB1，AB1，SAB1E.VCAB1EVAEB1C，三棱锥CAB1E的高为.19解析：(1)证明：由已知得AMAD2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故
14、TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是NMAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.20.解析：(1)证明：连接AB1，在ABB1中，AB1，BB12，ABB160，由余弦定理得，ABAB2BB2ABBB1cosABB13，AB1，BBAB2AB，ABAB1.ABC为等腰直角三角形，且ABAC，ACAB，又ACAB1A，AB平面AB1C.又B1C
15、平面AB1C，ABB1C.(2)解法一：AB1，ABAC1，B1C2，B1C2ABAC2，AB1AC.如图，以A为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(0,0，)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，(1,0，)，(1,1,0)设平面BCB1的法向量为n(x，y，z)，得令z1，得xy.平面BCB1的一个法向量为n(，1)(0,1,0)(1,0，)(1,1，)，cos1，n，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.解法二：过点A作AH平面BCB1，垂足为H，连接HC1，则AC1H为AC1与平面BCB1所成的角由(1)及题意知，AB1AB，AB1，
16、ABAC1，B1C2，ABAC2B1C2，AB1AC，又ABAB1，ABACA，AB1平面ABC，VB1ABCSABCAB1ABACAB1.取BC的中点P，连接PB1，BB1B1C2，PB1BC.又在RtABC中，ABAC1，BC，BP，PB1，SB1BCBCB1P.VABCB1VB1ABC，SBCB1AH，即AH，AH.AB1平面ABC，BC平面ABC，AB1BC，三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，B1C1BC，AB1B1C1，AC1.在RtAHC1中，sinAC1H，AC1与平面BCB1所成角的正弦值为.21解析：(1)如图，线段AB上存在一点K，且当AKAB时，BC平面DFK.证
17、明如下：设H为AB的中点，连接EH，则BCEH，AKAB，F为AE的中点，KFEH，KFBC，KF平面DFK，BC平面DFK，BC平面DFK.(2)证明：在折起前的图形中E为CD的中点，AB2，BC1，在折起后的图形中，AEBE，从而AE2BE24AB2，AEBE.平面ADE平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE，BE平面ADE，BE平面BDE，平面BDE平面ADE.22.解析：(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.连接BM，因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.
