1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时 双曲线方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1已知双曲线1的一条渐近线为yx，则实数a的值为()A.B2C.D4解析：由题意，得，所以a4.答案：D2已知点P(3，4)是双曲线1(a0，b0)渐近线上的一点，E、F是左、右两个焦点，若0，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：设E(c，0)、F(c，0)，于是有(3c，4)(3c，4)9c2160.于是c225.排除A，B.又由D中双曲线的渐近线方程为yx，点P不在其上排除D.答案：C3双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C1 D
2、.答案：B4已知ABP的顶点A，B分别为双曲线1的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于()A. B. C. D.解析：在ABP中，由正弦定理知.答案：A5已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A(1，) B(1，C(，) D，)解析：因为双曲线的一条渐近线方程为yx，则由题意得2.所以e .答案：C二、填空题6已知F是双曲线1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，若A(1，4)，则|PF|PA|的最小值是_解析：因为A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F(4，0)，于是由双曲线的定义得|PF|PF|2a4.而|PA|PF|AF|5.两式相加得|PF|PA|9，当且仅
3、当A，P，F三点共线时，等号成立由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|PA|最小，易求得最小值为|AF1|5，故所求最小值为9.答案：97设双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线离心率的最大值为_解析：依据双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，所以|PF1|PF2|2c，所以e，emax.答案：8若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点则k的取值范围为_答案：(1，)三、解答题9过双曲线1的右焦点F2且倾斜角为30的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原
4、点，F1为左焦点(1)求|AB|；(2)求AOB的面积解：(1)由双曲线的方程得a，b，所以c3，F1(3，0)，F2(3，0)直线AB的方程为y(x3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得5x26x270所以x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2| .(2)直线AB方程变形为x3y30所以原点O到直线AB的距离为d所以SAOB|AB|d.10已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(2，0)(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|2|，求直线l的方程解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为1(a0，b0)，则有e2，c2，所以a1
5、，则b，所以所求的双曲线方程为x21.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(2，0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：yk(x2)，令x0，得M(0，2k)，因为|2|且M，Q，F共线于l，所以2或2.当2时，xQ，yQk，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x21上，所以1，所以k，所以直线l的方程为y(x2)当2时，同理求得Q(4，2k)，代入双曲线方程得，161，所以k，所以直线l的方程为y(x2)，综上，所求的直线l的方程为y(x2)或y(x2)B级能力提升1P是双曲线1上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是，且F1PF290，若F1PF2的面积是9，则ab的值(a0，b0)等
6、于()A4 B7 C6 D5答案：B2直线l与双曲线C：1(a0，b0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则1，1，两式相减得，所以，所以k0k11，所以a2b2，即ab，所以e.答案：3设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a2，所以一条渐近线为y x，即bx2y0，所以.所以b23，所以双曲线的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.所以所以由，得(16，12)(4t，3t)，所以t4，点D的坐标为(4，3)