1、高三第一轮复习专题 平面向量表示、三点共线研究一、平面向量基本定理：设是同一平面内两个不共线向量，是这一平面内的任一向量。在平面内任取一点O，作，过C作OB的平行线，交直线OA于M；过C作OA的平行线，交直线OB于N。因与共线，则存在实数，使得：；因与共线，则存在实数，使得：；也即，任一向量都可表示成的形式。平面向量基本定理：若是同一平面内的两个不共线向量，则对于这个平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得：。 （也可称为用表示出来） 不共线向量称为表示这一平面内所有向量的一组基底，称为基向量。例1。两条对角线交于O，用、表示、。解：，两条对角线的交点， 。故在一个图形中，任意两个不共线向量都
2、可以作为一组基底，其余向量都可用这一组基向量表示出来。在具体问题中，基向量的选择十分重要，它决定了是否容易表示。二、向量的表示：在研究向量间关系时，常先取两个基向量作为一组基底，其余向量用这两个基向量表示出来，这样能够更清晰地找出所研究向量间的关系。1.表示方法：取有共同起点的两不共线向量作为基向量（一组基底），其余向量用这两个基向量表示出来。例。在中，设，用表示。解： 规律：若取有共同起点的两个向量作为基向量，例如取，则若要表示的向量起点字母是A，则用“和拆分”； 若要表示的向量没有字母A，则用A进行“差拆分”；若遇到几等分点问题，则用数乘运算。 练1.如图，在中，用表示、.练2.如图，在中
3、，用表示、.练3。在中，设，AD、BE为BC边、AC边上的中线，AD与BE交于G，用表示、。练4、设D为ABC所在平面内一点，则( )A BC D练5、已知平行四边形ABCD中，点E，F满足，则（ ）A、 B、C、 D、练6.平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若，则_。答案：练4.A 练5.B 练6.2。在中：在中，设=，=，则=，=。为矩形为菱形规律：以后凡是遇到有、四个向量组合的，都可用平行四边形解决。 三、中线向量公式：中线向量公式来源于向量加法的平行四边形法则。在中，为边上的中线，以、为邻边作，则：故：或此公式称为中线向量公式，是一个常用的向量公式。中线向量公式的特点：三向量起点相
4、同，D为BC的中点。注意：1.凡是有中点的地方都可以用到中线向量公式； 2.遇到两个有共同起点的向量求和，可以取两终点的中点，再用中线向量公式。 推论：重心向量公式： （G为的重心） 例1。设是两条对角线的交点，O为平面内任一点，则A。 B。 C。 D。 解：因M为AC的中点，则又因M为BD的中点，则故。例2、已知在的内部，满足0，则的面积与的面积之比为（ ）A B C D解析：取AC的中点E，连接BE故的面积与的面积之比为3：2.例3、在中，若，则一定是（ ）A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不能确定四、三点共线研究：1。三点共线结论：A、B、C三点共线 规律：已知三向量起点相同，
5、则终点共线系数和为1。2。“偏重”的概念：例1。在中，D、E为BC三等分点，取、为两个基向量，用、表示出、。 例2。在中，E、D、F为BC四等分点，取、为两个基向量，用、表示出、。 遇到“三点共线”问题，可利用“偏重”的概念迅速表示出向量。 3.三点共线的再研究：4.利用两个三点共线可得到一个等式：例1。在中， ，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点。若OM与BN相交于点P，求。解：，M为AB的三等分点 。规律总结：不共线，即指没关系，等式两边的的系数可以分别相等，列出二元一次方程组，可以解出两个未知数。例2。如图所示，在中，点M是AB的中点，且，BN与CM交于E
6、，设试用基底、表示向量。解：， 。例3。在中，D为BC中点，E为AB三等分点，且AB=3AE，AD交CE于P，求值。解：设，D为BC中点， 。练1在ABC中，N是AC边上一点，且 ，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为()A. B. C1 D3 练2、在ABC中，D为AC的中点，BD与 AE交于点F，若，则实数的值为（ ）A B C D 练3.如图所示，圆O及其内接正八边形，已知，点P为正八边形国上任意一点，则的最大值为_。练4.在中，点D在线段BC上，且，点O在线段CD上（与C,D不重合），若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 练5.在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、B
7、C的中点，连接CE、DF交于点G，若，则_。答案： B C C 1:2题型：三角形内部的面积比值问题 例1。在中，D为所在平面内一点，则( )A. B. C. D. 分析：取，则，如图所示。延长与交于E点，设由三点共线可知，则，故，如图，设，则其它三角形面积如图中所标，故故。本题中不但可以算出D点位置，还可求出E点位置，。也可这样分析：因，故可以确定D点的纵向位置，即,其中E位于直线BC上；因，故偏重于,且位于线段BC的五等分点处，即BE:EC=3：2，可确定D点的横向位置。, 规律：由可以确定点D的纵向位置；由偏重可以确定点D的横向位置。例2.已知点P是内一点，且，则( C )A. B. C. D.
