1、安徽省怀宁中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题 理考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请将正确选项涂在答题卡相应位置）1复数的虚部是（ ）ABCD2“蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴等爬行动物是用肺呼吸的，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的”此推理方法是（ ）A演绎推理 B归纳推理 C类比推理 D以上都不对3利用反证法证明“若，则a，b，c中至少有一个数不小于1”正确的假设为（ ）Aa，b，c中至
2、多有一个数大于1 Ba，b，c中至多有一个数小于1Ca，b，c中至少有一个数大于1 Da，b，c中都小于14用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（ ）A B C D5曲线上的点到直线的最短距离是（ ）ABCD06且则用排列数符号表示为（ ）ABCD7已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是（ ）A正四面体的内切球的半径是其高的B正四面体的内切球的半径是其高的C正四面体的内切球的半径是其高的D正四面体的内切球的半径是其高的8已知定义域为的函数满足，其中为导函数，则满足不等式的解集为（ ）ABCD9设下列关系式成立的是 （ ）ABCD10用数字0 2 2
3、3 3组成5位数，共有（ ）个。A12 B18 C24 D3011已知椭圆的左、右焦点分别为，.也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）ABCD12现有个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球谁赢. 如果甲先抓，那么下列推断正确的是（ ）A若=4，则甲有必赢的策略B若=6，则乙有必赢的策略C若=9，则甲有必赢的策略D若=11，则乙有必赢的策略第II卷（非选择题）二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分。请将答案填写在答题卷相应的空格内）13若数列是等差数列，有成立，类比上述性质，相应地，若各项均正的等比数列，
4、则有类似的正确的性质 _。14.一物体在变力F(x)5x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30方向作直线运动，则由x1运动到x2时，F(x)做的功为_J.15.为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为_16.已知x(0,2)，若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围为_三、 解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分).求由抛物线yx24x3及其在点A(0，3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积？18(12分)已知a,b是正常数，,求证：，指出
5、等号 成立的条件；并求函数的最小值，指出取最小值时x的值.19.(12分)是否存在常数a，b，c，使等式：N+都成立，并证明你的结论.20(12分)已知函数(1)若，当时，求的单调区间；(2)若函数有唯一的零点，求实数a的取值范围.21(12分)已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆上异于其顶点的任意一点作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴，轴上的截距分别为，证明：为定值.22已知函数.（1）求的单调区间;（2）证明：（i）； （ii）.参考答案1A 2B 3D 4B 5B 6C 7C. 8A 9D 10C 11B 12C13 14. 15.
6、540 16.0，e1)17(10分)答案解析由yx24x3，得y2x4.易知抛物线在点A处的切线斜率k1y|x04，在点B处的切线斜率k2y|x32.因此，抛物线在点A处的切线方程为y4x3，在点B处的切线方程为y2x6.两切线交于点M.因此，由题图可知所求的图形的面积是S.18(12分)解：（1），当且仅当即时取等号；或者作差法证明也可证明不等式成立.（2） 由（1），求导法也可以求最值.19(12分)解析：令n=1得， 令n=2得，令n=3得， 解、得a=3，b=11，c=10，记原式的左边为Sn，用数学归纳法证明猜想下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立（1）当n1时，
7、由上述知，（*）成立（2）假设nk（k1）时，（*）成立，即122+232+k（k+1）2（3k2+11k+10），那么当nk+1时， 122+232+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2（3k2+5k+12k+24）3（k+1）2+11（k+1）+10，由此可知，当nk+1时，（*）式也成立综上所述，当a3，b11，c10时题设的等式对于一切正整数n都成立20(12分)（1）由题可得：，定义域为， ，令得：或（舍去）令得：或，结合定义域得：令得：，结合定义域得： 的单调增区间为，的单调减区间为，（2）函数有唯一的零点等价于只有唯一的实数根，显
8、然，则只有唯一的实数根等价于关于的方程有唯一实数根，构造函数 ，则，令，解得： ，令，解得：，则函数在上单调递增；令，解得：，则函数在上单调递减；的极小值为，如图，作出函数的大致图像，则要使方程只有唯一实数根，只需要直线与曲线只有唯一交点， 或，解得：或，故实数的取值范围为21(12分)解：（1）由题意得：c=1，所以a2=b2+1，又因为点 在椭圆C上，所以可解得a2=4，b2=3，所以椭圆标准方程为.（2）由（1）知，设点，因为不在坐标轴上，所以，直线的方程为化简得，同理可得直线的方程为：，把点的坐标代入得，所以直线的方程为，令，得；令，得，所以又点在椭圆上，所以：，即为定值.22(12分)解：（1），该函数的定义域为，当时，；当时，.所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）（i）当且时，设.当时，令，可得.当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.故.由（1）可知，故对任意的恒成立；当时，则.综上可知，；（ii）要证，即证.令，则，设，则，令，其中，.当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.所以，则对任意的，所以，函数在上为增函数，因为，由零点存在定理可知，存在使得，可得.当时，即，此时函数单调递减；当时，即，此时函数单调递增.，令，则函数在时单调递减，所以，所以，因此，对任意的，.- 9 -
