1、2020-2021学年上学期山东省新高考高三上学期联考试卷一、单选题1. 已知集合，集合，=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求得指数函数的值域和对数型函数的定义域，再求交集即可.【详解】，故选：A.【点睛】易错点睛：本题考查集合的交集运算，解题时要注意集合的元素代表，从而转化为求指数函数的值域和对数型复合函数的定义域，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.2. 若复数（i为虚数单位），则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于 （ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算求出复数，即可得到其
2、共轭复数，再根据复数的几何意义判断可得；【详解】，故在复平面内对应的点的坐标为位于第三象限故选：C.3. 已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据图象求出函数的解析式，再令，解不等式即可求解.【详解】由图知：，所以，又因为，所以，所以，由，可得，因为，所以，所以，令，解得：，所以函数的单调递减区间为，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用五点法作图的原理求出的解析式，再利用整体代入法求单调区间.4. 已知向量，满足，且与的夹角为，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设
3、向量与的夹角为，由向量数量积的几何含义可知，结合已知即可求.【详解】设向量与的夹角为，则：，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的几何意义求向量夹角的余弦值，进而求角即可.5. 函数图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据解析式，可知为偶函数，再由知上单调递减，上单调递增，即可知函数的图象.【详解】由解析式知：，即为偶函数，排除A；，令得，上单调递减，上单调递增.故选：D6. 已知，且满足，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C【解析】【分析】由可得，利用展开利用基本不等式即可求解.【详解】由可得，又因为，所以，当且仅当即时等号
4、成立，所以的最小值为8，故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7. 周髀算经是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，.生数皆终，万物复苏，天以更远作纪历”，
5、某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90-100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年龄最小者的年龄为（ ）A. 65B. 66C. 67D. 68【答案】B【解析】【分析】设出年龄最小者的年龄、年龄最大者的年龄，根据条件列出关于的方程，再根据的范围，求解出的范围，由此确定出的值.【详解】设年龄最小者的年龄为，年龄最大者的年龄为，所以，所以，所以，所以，所以，因为年龄为正整数，所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过等差数列的求和公式列出关于年龄的方程，并借助不等式分析出问题的解.8. 已知函数（是自然对数的底数），
6、若当时，恒成立，则整数k的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】构造函数，要使题设不等式恒成立，即，应用导数研究的单调性，可得，进而可求整数k的最大值.【详解】令，则有，上单调递减，上单调递增.当时，在上单调递增，又，时，恒成立.当时，时，恒成立，即，有，令，则，所以在上单调递减，而时有，即成立，时有，即不成立，整数k的最大值为，故选：B【点睛】关键点点睛：构造，将不等式恒成立转化为，结合导函数研究单调性求参数的最大整数值.二、多选题9. 下列说法正确的是（ ）A. “”是“”的充要条件B. 已知是非零向量，若，则与的夹角为锐角C. 已知，若，则D. 命题“”
7、的否定为“”【答案】AD【解析】【分析】根据充要条件定义有A正确，B中向量数量积公式有，C中令，D中由全称命题的否定为任意改为存在，否定结论，即可知选项正误.【详解】A：可得，同样有，正确.B：有，而，即与的夹角为锐角或0，错误.C：当，有，错误.D：由全称命题的否定知：的否定为，正确.故选：AD10. 已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【分析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A若，此时可能平行或异面，故A错误；B根据“若一条直线和两个相交平面都平
8、行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B正确；C若，此时或，故C错误；D选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D正确，故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：（1）利用定理、定义、公理等直接判断；（2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析.11. 关于函数，则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是周期函数C. 在区间上单调递减D. 的最大值为1【答案】ACD【解析】【分析】利用奇偶性和周期性的定义可判断选项AB，求出再的单调性即可判断C，求出的最大值即可判断选项D，进而可得正确选项.【详
9、解】对于选项A: ,所以是偶函数,故选项A正确;对于选项D：因为是偶函数，只考虑时的性质，此时，当时，当时，所以的值域为，最大值为1，故选项D正确；对于选项B：由选项D以及是偶函数可得图象如图所示：所以不是周期函数.故选项B不正确；对于选项C: 当时, ，此时,函数为减函数，故选项C正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的突破口是利用是偶函数，研究时的性质，即可判断整个定义域内的性质，对于含绝对值的要分象限讨论去绝对值.12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 若函数有4个零点，则实数k的取值范围为B. 关于x的方程有个不同的解C. 对于实数，不等式恒成立D. 当时，函数的图象与x轴
10、围成的图形的面积为1【答案】AC【解析】【分析】根据函数的表达式，作出函数的图像，对于A，C利用数形结合进行判断，对于B，D利用特值法进行判断.【详解】当时，；当 时，；当，则， ；当，则， ；当，则， ；当，则，；依次类推，作出函数的图像：对于A，函数有4个零点，即与有4个交点，如图，直线的斜率应该在直线m, n之间，又，故A正确；对于B，当时，有3个交点，与不符合，故B错误；对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立，由图知函数的每一个上顶点都在曲线上，故恒成立，故C正确；对于D， 取，此时函数的图像与x轴围成的图形的面积为，故D错误；故选：AC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求
11、参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13. 若，则_.【答案】4【解析】【分析】求值式分子分母同除以，化为后代入的值计算【详解】，故答案为：414. 如图，在矩形ABCD中，F为DE的中点，若，则=_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量线性运算可得到，由此确定的值，从而求得结果.【详解】由F为DE的中点，利用向量平行四边形法则可得：利用向量三
12、角形法则知：，.故答案为：.15. 已知等差数列，的前n项和分别为，若，则=_【答案】【解析】【分析】利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得，再令即可求解.【详解】由等差数列的性质和等差数列的前项和公式可得：因为，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用等差数列的性质可得，再转化为前项和公式的形式，代入的值即可.16. 如图，在四面体ABCD中，ABBC，CDBC，BC=2，AB=CD=，且异面直线AB与CD所成的角为，则四面体ABCD的外接球的表面积为_.【答案】或.【解析】【分析】将四面体补形为直三棱柱，根据异面直线所成角分析出直三棱柱的外接球半径，从而计算出四面体的外接球
13、半径，则外接球的表面积可求.【详解】将四面体补形为直三棱柱如下图所示（设为直三棱柱上下底面三角形的外接圆圆心）：图（1）中，图（2）中，在图（1）（2）中可知：，所以平面，图（1）（2）中取的中点，连接，则为四面体的外接球的球心，为外接球的半径，图（1）中，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；图（2）中，且为等边三角形，所以，所以，所以外接球的表面积为；故答案为：或.【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径的几种方法：（1）当几何体可以放置于正方体、长方体等特殊几何体中，可以借助特殊几何体的规则结构确定出外接球的球心，从而求解出外接球的半径；（2）利用球结构特点以及圆的几何性质结合
14、线段的位置关系直接确定出球心，再根据长度求解出球的半径.四、解答题17. 在；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形式等边三角形，给出证明；若问题中的三角形不是等边三角形，说明理由问题：是否存在等边，它的内角，的对边分别为，满足：， .注：如果选择多个分别解答，按第一解答给分【答案】选择存在，选择存在，选择存在，证明见解析.【解析】【分析】若选利用二倍角公式化简可求角，利用余弦定理结合可得，即可证明是等边三角形；若选由正弦定理化边为角可求角，再同利用余弦定理结合可得，即可证明是等边三角形；若选利用三角形的面积公式和余弦定理可求出，可得，再同利用余弦定理结合可得，即可证明是等边三
15、角形；【详解】若选，由二倍角公式可得：，即，解得：或，因，所以 ，所以，在中由余弦定理可得：，因为，所以，所以，即，所以，所以，又因为，所以是等边三角形.若选，由正弦定理可得：，即，所以，即，因为，所以，在中由余弦定理可得：因为，所以，所以，即，所以，所以，又因为，所以是等边三角形.若选，由三角形的面积公式和余弦定理可得：，即，所以，因为，所以，在中由余弦定理可得：因为，所以，所以，即，所以，所以，又因为，所以是等边三角形.【点睛】思路点睛：解三角形求角的过程中，关键是利用三角恒等变换如二倍角公式，辅助角公式，两角和差的正余弦公式、以及正余弦定理、三角形的面积公式，求出角的一个三角函数值，再结
16、合该角的范围即可求角.18. 已知等差数列的公差为正数，前n项和为，数列为等比数列，且，（1）求数列、的通项公式（2）令，求数列的前100项的和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件列出公比和公差的方程组，根据公差的范围求解出公差的值，则公比可求，由此求解出的通项公式；（2）先化简，分析的取值周期性，由此计算的值.【详解】（1）设的公差为，的公比为，因为且，所以，所以，所以；（2）因为，当时，；当时，；当时，；当时，；所以所以.【点睛】关键点点睛：解答本题的第二问的关键是分析的周期性，根据周期性可分析出求和时很多项为零，因此很大程度上简化了运算.19. 如图，在四棱锥中，平
17、面，底面是边长为2的正方形，为垂足，为的中点.（1）当点在线段上移动时，判断是否为直角三角形，并说明理由（2）若，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明平面，可得，结合，即可证得平面，进而可得，即可得出是直角三角形；（2）以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，根据，设，利用求出的值，再计算平面的法向量，平面的法向量，利用向量夹角公式求夹角余弦值，再计算正弦值即可.【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为四边形是边长为2的正方形，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，可得，所以是直角三角形.（2）如图以为原点，
18、分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，因为，设，所以 因为，所以，解得：，所以，设平面的一个法向量为，由 令可得，所以，设平面的一个法向量为，由令，可得，所以设二面角的平面角为，则，因为，所以，故二面角的正弦值.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.20. 已知数列的前n项和为，且满足，满足，且（1）求和的通项
19、公式（2）若设，求数列的前n项和【答案】（1），；（2）.【解析】分析】（1）由已知等式得到，根据求解出通项公式；用替换，然后两式作差即可求解出的通项公式，由此求解出的通项公式；（2）先化简，将其变形为，然后对分奇偶讨论，由此求解出的结果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，又因为，所以时，又因为符合的情况，所以；因为，所以，所以，所以，所以当时为常数列，又因为，所以，所以，当时，所以符合的情况，所以；（2）因为，当为奇数时，当为偶数时，综上可知：.【点睛】易错点睛：（1）利用求解数列的通项公式时，一定不要忘记讨论的情况，决定通项公式是否需要分段书写；（2）若数列的通项中含有等形式，要注意对
20、数列进行分奇偶讨论.21. 已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换公式化简解析式得到，根据正弦函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果；（2）由（1）先求出，由正弦定理得：，再根据锐角三角形求出B的取值范围，进而求出c的取值范围，从而得到面积的取值范围.【详解】（1）由解得：，故函数的单调递增区间为（2），又，又，在中，由正弦定理得：，得又为锐角三角形，且，故，解得，即面积S的取值范围是：【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理求三角形边长范围的最值，解
21、本题时要注意的事项：求角的范围时，是在为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22. 已知函数（）（1）讨论的单调性（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）不是，理由见解析；【解析】【分析】（1）先求导，然后结合导数与单调性关系对参数进行讨论即可得解；（2）要判断是否其导函数的零点，问题转化为是否成立，结合函数的性质进行求解.【详解】（1）函数，定义域为求导（i）当时，在上单调递减；当时，令，其令，得，（ii）当时，（舍去），当时，在上
22、单调递减；当时，在上单调递增；（iii）当时，（舍去），当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减；在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减；（2）当时，求导为函数的两个零点，两式作差得：，即令，令，求导，在上单调递增，即，即又，即所以不是导函数的零点.【点睛】方法点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性及函数性质的综合问题，讨论含参数的函数的单调性，通常需要从几个方面分类讨论：（1）求导后看函数最高次项系数是否为0，需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口定时，需根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域的比较.
