1、明目标、知重点1.会用“五点法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值 1余弦函数ycos x(xR)的图像叫作余弦曲线ycos x，x0,2的图像上起关键作用的五个点为(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2余弦函数的性质函数ycos x定义域R值域1,1奇偶性偶函数周期性2为最小正周期单调性当x2k，2k(kZ)时，递增；当x2k，2k(kZ)时，递减最大值与最小值当x2k(kZ)时，最大值为1；当x2k(kZ)时，最小值为1情境导学由于余弦曲线可以看作是由正弦曲线向左平移个单位得到，因此余弦函数的性质和正弦函数的性质非常相似处理余弦函数
2、的问题时注意类比正弦函数的研究方法探究点一五点法作余弦曲线导引ycos x，x0,2可以通过描出(0,1)，(，1)，(2，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得余弦函数的简图思考请你在下面所给的坐标系中画出ycos x，x0,2的图像答例1画出ycos x(xR)的简图，并根据图像写出：(1)y时x的集合；(2)y时x的集合解用“五点法”作出ycos x的简图(1)过(0，)点作x轴的平行线，从图像中看出：在，区间与余弦曲线交于(，)，(，)点，在，区间内，y时，x的集合为x|x当xR时，若y，则x的集合为x|2kx2k，kZ(2)过(0，)、(0，)点分别作x轴的平行线，从图
3、像中看出它们分别与余弦曲线交于(2k，)，kZ，(2k，)，kZ点和(2k，)，kZ，(2k，)，kZ点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当y时x的集合为：x|2kx2k或2kx2k，kZ反思与感悟利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性跟踪训练1求函数f(x)lg cos x的定义域解由题意，得x满足不等式组，即，作出ycos x的图像，如图所示结合图像可得：x.探究点二余弦函数的奇偶性、单调性导引(1)从余弦曲线可以看出余弦函数ycos x的定义域是R，值域是1,1(2)余弦曲线关于y轴对称，由诱导公式可知cos(x)cos x
4、，所以说余弦函数是偶函数思考1观察余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.思考2当自变量x分别取何值时，余弦函数ycos x取得最大值1和最小值1?答对于余弦函数ycos x，xR有：当且仅当x2k，kZ时，取得最大值1；当且仅当x(2k1)，kZ时，取得最小值1.思考3观察余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答余弦函数是周期函数，且周期是2，首先研究它在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域函数ycos x，x，的图像如图所示：观察图像可知：当x
5、，0时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由1增大到1；当x0，时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得：当x2k，2k，kZ时，余弦函数ycos x是增函数，函数值由1增大到1；当x2k，(2k1)，kZ时，余弦函数ycos x是减函数，函数值由1减小到1.例2求函数ylog(cos 2x)的增区间解由题意得cos 2x0且ycos 2x递减x只须满足：2k2x2k，kZ.kx1391360，且ycos x在0，180上递减，cos 139cos 221.(2)coscos cos(4)cos ，coscos coscos .0，且ycos x在0，上
6、递减，cos cos ，即coscos.例3求下列函数的值域(1)ycos2xcos x；(2)y.解(1)y2.1cos x1，当cos x时，ymax.当cos x1时，ymin2.函数ycos2xcos x的值域是.(2)y1.1cos x1，12cos x3，1，4，13，即y3.函数y的值域为.反思与感悟求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：(1)sin x，cos x的有界性；(2)sin x，cos x的单调性；(3)化为sin xf(y)或cos xf(y)利用|f(y)|1来确定；(4)通过换元转化为二次函数跟踪训练3求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值
7、时的x的集合(提示：sin2cos21)解ycos2x4sin x1sin2x4sin xsin2x4sin x1(sin x2)25.当sin x1，即x2k，kZ时，ymax4；当sin x1，即x2k，kZ时，ymin4.ymax4，此时x的取值集合是x|x2k，kZ；ymin4，此时x的取值集合是x|x2k，kZ1设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数答案B解析sinsincos 2x，f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数2方程x2
8、cos x0的实数解的个数是()A0 B1 C2 D3答案C解析作函数ycos x与yx2的图像易知有2个交点3设0x2，且|cos xsin x|sin xcos x，则x的取值范围为 答案解析由题意知sin xcos x0，即cos xsin x，在同一坐标系画出ysin x，x0,2与ycos x，x0,2的图像，如图所示：观察图像知x.4(1)已知f(x)的定义域为0,1)，求f(cos x)的定义域；(2)求函数ylg sin(cos x)的定义域解(1)0cos x02kcos x2k(kZ)又1cos x1，0sin Bsin 3sin 2Csin sin Dsin 2cos 1
9、答案D解析sin 2coscos，且021cos 1，即sin 2cos 1.故选D.4下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin(2x) Bycos(2x)Cysin(x) Dycos(x)答案A解析因为函数周期为，所以排除C、D.又因为ycos(2x)sin 2x在上为增函数，故B不符合故选A.5函数y的定义域是 答案，kZ解析2cos x10，cos x，结合图像知x，kZ.6函数ycos x位于区间(0,3)内的对称中心个数是 答案3解析由cos x0得xk，kZ，xk，当k0时，x；当k1时，x；当k2时，x；当k3时，x3.位于区间(0,3)内的对称中心有，共3个7已知0
10、x2，试探索sin x与cos x的大小关系解用“五点法”作出ysin x，ycos x(0x2)的简图由图像可知当x或x时，sin xcos x；当xcos x；当0x或x2时，sin x|cos x|的x的取值范围是 答案解析sin x|cos x|，sin x0，x(0，)，在同一坐标系中画出ysin x，x(0，)与y|cos x|，x(0，)的图像，观察图像易得x.11设|x|，求函数f(x)cos2xsin x的最小值(提示：sin2xcos2x1，xR)解f(x)cos2xsin x1sin2xsin x2.|x|，sin x.当sin x时，f(x)min.12已知函数f(x)2asinb的定义域为，最大值为1，最小值为5，求a和b的值解0x，2x，sin1，易知a0.当a0时，f(x)max2ab1，f(x)minab5.由解得当a0时，f(x)maxab1，f(x)min2ab5.由解得三、探究与拓展13已知0x，求函数ycos2x2acos x的最大值M(a)与最小值m(a)解设cos xt，0x，0t1.yt22at(ta)2a2，当a0时，m(a)0，M(a)12a；当0a时，m(a)a2，M(a)12a；当a1时，m(a)a2，M(a)0；当a1时，m(a)12a，M(a)0.
