1、课时作业(五十九)最值、范围、证明问题授课提示：对应学生用书第270页1(2015浙江卷)已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点)解析：(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb.由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220，将线段AB中点M，代入直线方程ymx解得b.由得m或m.(2)令t，则|AB|，且O到直线AB的距离d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d ，当且仅当t2时，等号成立故AOB面积的最大值为.2已知定圆M：(x)2y216，动圆N过点F
2、(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|CB|，当ABC的面积最小时，求直线AB的方程解析：(1)易知点F(，0)在圆M：(x)2y216内，圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，|NM|NF|4，又|FM|24，点N的轨迹E为椭圆，且2a4，c，所以b1，所以轨迹E的方程为y21.(2)()当AB为椭圆E的长轴(或短轴)时，依题意知，点C可为椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)，此时SABC|OC|AB|2.()当直线AB的斜率存在且不为0时，设其为k，则直线AB的方程为ykx，由解得x，y，所以|OA|2xy.由
3、|AC|CB|知，ABC为等腰三角形，又O为AB的中点，所以OCAB，所以直线OC的方程为yx，由解得x，y，|OC|2，SABC2SOAC|OA|OC|，由于，所以SABC，当且仅当14k2k24，即k1时等号成立，此时ABC面积取最小值，是.因为2，所以ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为yx或yx.3(2016江苏，22,10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围解析：(1)抛
4、物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b2
5、2p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以p.因此，p的取值范围是.4(2016山东，21,14分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率是，抛物线E：x22y的焦点F是C的一个顶点(1)求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.()求证：点M在定直线上；()直线l与y轴交于点G，记PFG的面积为S1，PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标解析：(1)由题意知，可得a24b2.因为抛物线E的焦点为F的坐标为，所以b，所以a1.所以椭圆C的方程
6、为x24y21.(2)()设P(m0)由x22y，可得yx，所以直线l的斜率为m.因此直线l的方程为ym(xm)，即ymx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，联立得(4m21)x24m3xm410.由0，得0m(或0m22)，(*)且得x1x2，因此x0.将其代入ymx，得y0.因为，所以直线OD的方程为yx.联立得点M的纵坐标yM，所以点M在定直线y上()由()知直线l的方程为ymx.令x0，得y，所以G.又P，F，D，所以S1|GF|m，S2|PM|mx0|.所以.设t2m21.则2.当，即t2时，取到最大值，此时m，满足(*)式，所以P点坐标为.因此的最大值为，此时点P的坐标为.
