1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网专题检测(二)三角函数与解三角形、平面向量(本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数 y12sin2x4 是A最小正周期为 的偶函数B最小正周期为 的奇函数C最小正周期为2的偶函数D最小正周期为2的奇函数解析 y12sin2x4 cos 2x2 sin 2x，所以 T，且 ysin 2x 为奇函数故选 B.答案 B2若函数 f(x)sin ax 3cos ax(a0)的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中心为A.1
2、3，0 B.3，0C.13，0D(0,0)解析 f(x)2sin ax3，T2a 1，a2，则 f(x)2sin 2x3，令 2x3k，得 xk216，kZ，当 k1 时，x13，即 f(x)的一个对称中心为13，0，故选 C.答案 C高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网3已知实数 a，b 均不为零，asin bcos acos bsin tan，且 6，则ba等于A.3B.33C 3D 33解析 由 6，得 6，故 tan tan 6 tan 331 33 tan 3sin 3cos 3cos 3sin，与已知比较得 a3t，b 3t，t0，故ba 33.答案 B4设 a32，
3、sin ，bcos，13，若 ab，则锐角 为A30 B45C60 D75解析 ab，sin cos 3213，即 sin cos 12，sin 21，又 是锐角，290，45.答案 B5在梯形 ABCD 中，ABCD，且|AB|DC|，设ABa，AD b，则AC等于AabBabC.1abDa1b解析 ACAD DC b1ABb1a.故选 C.答案 C6(2011课标全国卷)设函数 f(x)sin2x4 cos2x4，则高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网Ayf(x)在0，2 单调递增，其图象关于直线 x4对称Byf(x)在0，2 单调递增，其图象关于直线 x2对称Cyf(x)在
4、0，2 单调递减，其图象关于直线 x4对称Dyf(x)在0，2 单调递减，其图象关于直线 x2对称解析 f(x)sin2x4 cos2x4 2sin2x44 2cos 2x，当 0 x2时，02x，故 f(x)2cos 2x 在0，2 单调递减又当 x2时，2cos22 2，因此 x2是 yf(x)的一条对称轴答案 D7下列命题中正确的是A若 ab0，则 0B若 ab0，则 abC若 ab，则 a 在 b 上的投影为|a|D若 ab，则 ab(ab)2解析 根据平面向量基本定理，必须在 a，b 不共线的情况下，若 ab0，则 0；选项 B 显然错误；若 ab，则 a 在 b 上的投影为|a|或
5、|a|，平行时分两向量所成的角为 0和 180两种；abab0(ab)20.故选 D.答案 D8(2011四川)在ABC 中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则 A 的取值范围是A.0，6B.6，C.0，3D.3，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网解析 在ABC 中，由正弦定理可得 sin A a2R，sin B b2R，sin C c2R(其中R 为ABC 外接圆的半径)，由 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C 可得 a2b2c2bc，即 b2c2a2bc，cos Ab2c2a22bc12，0A3.答案 C9(2011广州广雅中学模拟)函数
6、 f(x)sin(x)|2 的最小正周期为，且其图象向左平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f(x)的图象A关于点12，0 对称B关于直线 x512对称C关于点512，0 对称D关于直线 x 12对称解析 根据最小正周期为，得 2，向左平移6个单位后得到函数 f(x)sin 2x6 sin 2x3 的图象，这个函数是奇函数，由 f(0)0 和|2，得3，故函数 f(x)sin 2x3.把各个选项代入，根据正弦函数图象对称中心和对称轴的意义知，只有选项 B 中的直线 x512是函数图象的对称轴答案 B10(2011安徽)已知函数 f(x)sin(2x)，其中 为实数若 f(x)f6对xR
7、恒成立，且 f2 f()，则 f(x)的单调递增区间是A.k3，k6(kZ)B.k，k2(kZ)C.k6，k23(kZ)D.k2，k(kZ)解析 由xR，有 f(x)f6知，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网当 x6时 f(x)取最值，f6 sin 3 1，322k(kZ)，62k 或 56 2k(kZ)又f2 f()，sin()sin(2)，sin sin，sin 0.取56 2k(kZ)不妨取 56，则 f(x)sin 2x56.令22k2x56 22k(kZ)，32k2x43 2k(kZ)，6kx23 k(kZ)f(x)的单调递增区间为6k，23 k(kZ)答案 C11设
8、 0，m0，若函数 f(x)msin x2 cos x2 在区间3，4 上单调递增，则 的取值范围是A.0，23B.0，32C.32，D1，)解析 f(x)msin x2 cos x2 m2sin x，0，m0，其增区间为 22k，22k(kZ)高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网又f(x)在3，4 上单调递增，3，4 2，2.23，24，解之得 32.又0，0，32，故选 B.答案 B12在ABC 中，a、b、c 分别是A、B、C 的对边，已知 b2c(b2c)，若 a 6，cos A78，则ABC 的面积等于A.17B.15C.152D3解析 b2c(b2c)，b2bc2c2
9、0，即(bc)(b2c)0，b2c.又 a 6，cos Ab2c2a22bc78，解得 c2，b4.SABC12bcsin A12421782 152.答案 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分把答案填在题中的横线上)13(2011北京)在ABC 中，若 b5，B4，sin A13，则 a_.解析 根据正弦定理应有 asin A bsin B，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网absin Asin B 513225 23.答案 5 2314已知向量 a、b 满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则 a 与 b 的夹角为_解析 由(a2b)(
10、ab)6得 a22b2ab6.|a|1，|b|2，1222212cos a，b6，cos a，b12.a，b0，a，b3.答案 3 15在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山，山顶上有一个观察站，上午 11 时，测得一轮船在岛的北偏东 30，俯角 30的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在岛的北偏西 60，俯角 60的 C 处，则轮船航行速度是_千米/小时解析 如图所示，设海岛的底部为点 D.在 RtABD 中，BD1tan 30 3；在 RtACD 中，CD1tan 60 33.故在 RtBCD 中，BC313 303.所以轮船的速度为303162 30.高考资源网（）您身边的高考专
11、家 版权所有高考资源网答案 2 3016三角形 ABC 中，已知ABBCBCCACAAB6，且角 C 为直角，则角 C 的对边 c 的长为_解析 由ABBCBCCACAAB6，得AB(BCCA)BCCA6，即ABBABCCA6，C90，c26，c 6.答案 6三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)已知向量 a12，32，b(cos x，sin x)，x0，2.(1)若 ab，求 sin x 和 cos 2x 的值；(2)若 ab2cos 12k136x(kZ)，求 tanx512 的值解析(1)ab，12sin x 32 c
12、os x.于是 sin x 3cos x，又sin2xcos2x1，cos2x14，又x0，2，sin x1cos2x114 32.cos 2x2cos2x112112.(2)ab12cos x 32 sin xcos 6sin xsin 6cos xsin x6，而 2cos x12k1362cos 2kx6 2cos x6(kZ)；于是 sin x6 2cos x6，即 tan x6 2.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网tan x512 tan x6 4tanx6 tan 41tanx6 tan 4 211213.18(12 分)(2011苏州模拟)如图，为了计算渭河岸边
13、两景点 B 与 C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点现测得 ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60，BCD135，求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B，C，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：21.414，31.732，52.236)解析 在ABD 中，设 BDx m，则 BA2BD2AD22BDADcos BDA，即 1402x210022100 xcos 60，整理得 x2100 x9 6000，解得 x1160，x260(舍去)，故 BD160 m.在BCD 中，由正弦定理得，BCsin CDBBDsin BCD，又 ADC
14、D，CDB30，BC160sin 135sin 3080 2113(m)即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.19(12 分)已知 a2(cos x，cos x)，b(cos x，3sin x)(其中 01)，函数 f(x)ab，若直线 x3是函数 f(x)图象的一条对称轴(1)试求 的值；(2)若函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象的各点的横坐标伸长到原来的 2倍，然后再向左平移23 个单位长度得到，求 yg(x)的单调增区间解析 f(x)ab2(cos x，cos x)(cos x，3sin x)2cos2x2 3cos xsin x1cos 2x 3sin 2x12s
15、in 2x6.(1)直线 x3为对称轴，sin 23 6 1，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网23 6k2(kZ)32k12，kZ.01，13k13，k0.12.(2)由(1)，得 f(x)12sin x6，g(x)12sin 12x23 6 12sin 12x2 12cos 12x.由 2k12x2k，得 4k2x4k(kZ)，g(x)的单调增区间为4k2，4k(kZ)20(12 分)(2011广东)已知函数 f(x)2sin 13x6，xR.(1)求 f(0)的值；(2)设，0，2，f32 1013，f(32)65，求 sin()的值解析(1)f(0)2sin 6 2si
16、n 61.(2)由题意知，0，2，f32 1013，f(32)65，即 2sin 1013，2cos 65，sin 513，cos 1213；cos 35，sin 45.sin()sin cos cos sin 513351213456365.21(12 分)(2011山东)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知cos A2cos Ccos B2cab.(1)求sin Csin A的值；(2)若 cos B14，b2，求ABC 的面积 S.解析(1)由正弦定理，设 asin A bsin Bcsin Ck，则2cab2ksin Cksin Aksin B2sin Csi
17、n Asin B，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网所以cos A2cos Ccos B2sin Csin Asin B.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得 sin(AB)2sin(BC)又 ABC，所以 sin C2sin A.因此sin Csin A2.(2)由sin Csin A2 得 c2a.由余弦定理 b2a2c22accos B 及 cos B14，b2，得 4a24a24a214.解得 a1.从而 c2.又因为 cos B14，且 0B，所以 sin B 154.因此 S12acsin B1212 154 154.
18、22(14 分)已知向量 a(3sin 3x，y)，b(m，cos 3xm)(mR)，且 ab0.设 yf(x)(1)求 f(x)的表达式，并求函数 f(x)在18，29 上图象最低点 M 的坐标；(2)若对任意 x0，9，f(x)t9x1 恒成立，求实数 t 的范围解析(1)因为 ab0，即 3sin 3xm0，ycos 3xm0，消去 m，得 y 3sin 3xcos 3x，即 f(x)3sin 3xcos 3x2sin3x6，当 x18，29 时，3x63，56，sin3x6 12，1，即 f(x)的最小值为 1，此时 x29.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网所以函数 f(x)的图象上最低点 M 的坐标是29，1.(2)由题，知 f(x)t9x1，即 2sin3x6 9xt1，当 x0，9 时，函数 f(x)2sin3x6 单调递增，y9x 单调递增，所以 y2sin3x6 9x 在0，9 上单调递增，所以 y2sin3x6 9x 的最小值为 1，即要 2sin3x6 9xt1 在任意 x0，9 上恒成立，只要 t11，即 t0.故实数 t 的范围为(，0).精品资料。欢迎使用。高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
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