1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面向量数量积的物理背景.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. (重点)3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直(难点)4. 向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点)1.通过学习平面向量数量积的学习，培养学生的数学抽象素养.2.通过数量积的应用，提升学生的数学运算素养.1平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为，数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos.特别地，零向量与任一向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算
2、结果与线性运算的结果有什么不同？提示数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量2向量的数量积的几何意义(1)投影的概念：b在a的方向上的投影为|b|cos ；a在b的方向上的投影为|a|cos .(2)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积思考：投影一定是正数吗？提示投影可正、可负也可以为零3向量数量积的性质垂直向量ab0平行向量同向ab|a|b|反向ab|a|b|向量的模aa|a|2或|a|求夹角cos 不等关系ab|a|b|4.向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)(a)b(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(
3、分配律)思考：a(bc)(ab)c成立吗？提示(ab)ca(bc)，因为ab，bc是数量积，是实数，不是向量，所以(ab)c与向量c共线，a(bc)与向量a共线因此，(ab)ca(bc)在一般情况下不成立1已知单位向量a，b，夹角为60，则ab()A.B.C1 DAab11cos 60.2已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A. B.C. D.C由条件可知，cos ，又0，.3已知单位向量a，b夹角为，则|ab|_.1单位向量a，b夹角为，则|ab|1.4己知|a|1，(ab)a ，则ab_.1|a|1，(ab)a，可得：a2ab0，ab1.向量数量积的计算及其
4、几何意义【例1】(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a2e1e2，则a在e1上的投影是_(2)已知向量a与b满足|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120.求：(ab)(ab)；(2ab)(ab)思路点拨：根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答(1)设a与e1的夹角为，则a在e1上的投影为|a|cos ae1(2e1e2)e12ee1e2211cos.(2)解(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2100991.因为|a|10，|b|3，且向量a与b的夹角为120，所以ab103cos 12015，所以(2ab)(ab)2a2abb2200159206.求平面向量数量积的步骤(
5、1)求a与b的夹角，0，；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为1(1)已知|a|2，|b|3，a与b的夹角为60，求：ab；(2ab)(a3b)(2)设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbcca.解(1)ab|a|b|cos 23cos 603.(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25ab3|b|222253
6、3324.(2)|a|b|c|，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120，abbccacos 12033.与向量模有关的问题【例2】(1)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.(2)已知向量a与b夹角为45，且|a|1，|2ab|，求|b|.思路点拨：灵活应用a2|a|2求向量的模(1)2|a2b|2(a2b)2|a|22|a|2b|cos 60(2|b|)2222222244412，所以|a2b|2.(2)解因为|2ab|，所以(2ab)210，所以4a24abb210.又因为向量a与b的夹角为45且|a|1，所以41241|b|b|210，整理得|b|22|b|6
7、0，解得|b|或|b|3(舍去)求向量的模的常见思路及方(1)求模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2|a|2，勿忘记开方.(2)aaa2|a|2或|a|，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(3)一些常见的等式应熟记，如(ab)2a22abb2，(ab)(ab)a2b2等.2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解|a|b|5且夹角为， |ab|2a22abb252255cos5275，|ab|2a22abb252255cos5225，|ab|5，|ab|5.与向量垂直、夹角有关的问题探究问题1设a与b都是非零向量，若ab，
8、则ab等于多少？反之成立吗？提示：abab0.2|ab|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？提示：|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”，所以|ab|a|b|，cos .【例3】(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，则k的取值范围为_(2)已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角思路点拨：(1)两个向量夹角为锐角等价于这两个向量数量积大于
9、0且方向不相同(2)由互相垂直的两个向量的数量积为0列方程，推出|a|与|b|的关系，再求a与b的夹角(1)(0,1)(1，)e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k0.当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去综上，k的取值范围为k0且k1.(2)解由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，.1将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围解e1ke2与ke1e2的夹角为钝角，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k0，k
10、0.当k1时，e1ke2与ke1e2方向相反，它们的夹角为，不符合题意，舍去综上，k的取值范围是k0且k1.2将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值解由已知得|e1ke2|，|ke1e2|，(e1ke2)(ke1e2)keke(k21)e1e22k，则cos，即，整理得k24k10，解得k2.1求向量夹角的方法(1)求出ab，|a|，|b|，代入公式cos 求解(2)用同一个量表示ab，|a|，|b|，代入公式求解(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角2要注意夹角的范围0，当cos 0时，；当cos 0时，当cos 0时，.1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以
11、为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.3要注意区分向量数量积与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0.实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，当且仅当ab时等号成立这是因为|ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)实数运算满足消去律
12、：若bcca，c0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线1对于向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是()A若ab0，则a0或b0B若a0，则0或a0C若a2b2，则ab或abD若abac，则bcBA错，当a与b夹角为时，ab0；C错，a2b2即|a|b|；D错，数量积不能约分；只有B对2(2018全国卷)已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)()A4B3C2D0B因为a(2ab)2a2ab2|a|2(1)213，所以选B.3已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b的方向上的投影为_设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos 12，又|b|5，所以|a|cos ，即a在b方向上的投影为.4已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 55.|ab|5.|ab|5.
