1、x y O 1。x y O 1。x y O 1。x y O 1。2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数 学(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设全集1,2,3,4,5U,集合1,2A,2,3B,则UAB（）A4,5 B2,3 C 1 D 1 2设向量a、b 满足:1a,2b,0aab,则a 与b 的夹角是（）A30 B60 C90 D120 3若0,0 xy,且21xy,则223xy的最小值是（）A 2 B 34 C 23 D0 4已知,a b 为实数,则“|1ab”是“1|2a 且1|2b”的
2、（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5函数sinxyx,00,x 的图像可能是下列图像中的（）网 A B C D 6已知直线m、l 与平面、满足l ,/l,m,m,则下列命题一定正确的是（）A且 lm B且/m C/m 且lm D/且 7如图所示为函数 2sinf xx(0,0)的部 分图像,其中,A B 两点之间的距离为5,那么1f （）A 2 B3 C3 D 2 8已知函数 Mfx 的定义域为实数集 R,满足 1,0,MxMfxxM(M 是 R 的非空真子集),在 R 上有两个非空真子集,A B,且 AB,则 11A BABfxF xfxfx的值
3、2012 年 4 月 18 日 x y O 1 2 2 A B F A E D B C 域为（）A20,3 B 1 C 1 2,12 3 D 1,13 二、填空题：本题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分(一)必做题(913 题)9.设i 为虚数单位,则51 i的虚部为 10.设,x y 满足约束条件0201xxyxy ,则2zxy的最大值是 11.抛掷 一 枚质 地 均匀的 骰 子,所得 点 数的 样本 空 间 为1,2,3,4,5,6S,令 事件2,3,5A,事件1,2,4,5,6B,则|P A B 的值为 12.直线2yx和圆221xy 交于,A B 两点,以O
4、x 为始边,OA,OB 为终边的角分别为,则sin 的值为 13.已知等比数列 na的首项为 2,公比为2,则1123nnaaaaaaaaaa （二）选做题（14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,射线03与曲线1C:4sin的异 于 极 点 的 交 点 为 A,与 曲 线2C:8sin的 异 于 极 点 的 交 点 为 B,则|AB _.15.(几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且2DFCF,:4:2:1AF FB BE,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为
5、三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本题满分 12 分）在四边形 ABCD 中,2AB,4BCCD,6AD,AC.（）求 AC 的长；（）求四边形 ABCD 的面积.级别 O 5 16 8 天数 4 2 10 15 P C D E F B A 17（本题满分 12 分）空气质量指数PM2.5(单位:3/g m)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:PM2.5日均浓度 035357575115115150150250250空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别 优 良 轻度污染 中
6、度污染 重度污染 严重污染 某市2012 年3月8 日4 月7 日(30天)对空气质量指数PM2.5 进行监测,获得数据后得到如下条形图:（）估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；（）在上述30 个监测数据中任取2 个,设 X 为空气 质量类别为优的天数,求 X 的分布列.18（本题满分 14 分）如图所示四棱锥 PABCD中,PA底面 ABCD,四边形 ABCD中,ABAD,/BCAD,2PAABBC,4AD,E 为 PD的中 点,F 为 PC 中点.（）求证:CD 平面 PAC；（）求证:/BF平面 ACE；（）求直线 PD与平面 PAC 所成的角的正弦值；19（本题满分 14 分）.
7、x y 1A 2A T G P M O N 已知椭圆 E:222210 xyabab的一个交点为13,0F,而且过点13,2H.（）求椭圆 E 的方程；（）设椭圆 E 的上下顶点分别为12,A A,P 是椭圆上异于 12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交 x 轴于点,N M,若直线 OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T.证明：线段OT 的长 为定值,并求出该定值.20（本题满分 14 分）记函数*112,nnfxxnnN的导函数为 nfx,函数 ng xfxnx.（）讨论函数 g x 的单调区间和极值；（）若实数0 x 和正数k 满足：0101nnnnfxfkfxfk，求
8、证：00 xk.21（本题满分 14 分）设曲线C：221xy 上的点 P 到点0,nnAa的距离的最小值为nd,若00a,12nnad,*nN （）求数列 na的通项公式；（）求证:321212435214622nnnnaaaaaaaaaaaa；（）是否存在常数 M,使得对*n N,都有不等式:33312111nMaaa成立?请说明理由.A B C D 2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）参考答案 数 学(理科)一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B B C A A B 二、填空题：本题共 7 小题，考生
9、作答 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 4；105；11 25；1245；13.4；142 3；15.72 三、解答题：本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤 16【解析】（）如图,连结 AC,依题意可知,BD,在 ABC中,由余弦定理得222242 2 4cosACB 20 16cos B 在 ACD中,由余弦定理得222642 6 4cosACD 5248cos5248cosDB 由 20 16cos5248cosBB,解得1cos2B 从而220 16cos28ACB,即2 7AC 6 分 （）由（）可知3sinsin2BD,所以11sins
10、in22ABCDABCACDSSSAB BCBAD CDD236383.12 分 17【解析】（）由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为16天,所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 1683015.4 分 （）随机变量 X 的可能取值为0,1,2,则 2222302310435CP XC,118222301761435C CP XC,28230282435CP XC 所以 X 的分布列为:X 0 1 2 2012 年 4 月 18 日 P C D E F B A O G P C D E F B A O G H P 231435 176435 28435 18【解析】（）因为 PA底面
11、 ABCD,CD 面 ABCD,所以 PACD,又因为直角梯形面 ABCD 中,2 2,2 2ACCD,所以222ACCDAD,即 ACCD,又 PAACA,所以CD 平面PAC；4 分 （）解法一:如图,连接 BD,交 AC 于O,取 PE 中点G,连接,BG FG EO,则在 PCE中,/FGCE,又 EC 平面 ACE,FG 平面 ACE,所以/FG平面 ACE,因为/BCAD,所以 BOGEODED,则/OEBG,又OE 平面 ACE,BG 平面 ACE,所以/BG平面 ACE,又 BGFGG,所以平面/BFG平面 ACE,因为 BF 平面 BFG,所以/BF平面 ACE.10 分 解
12、法二:如图,连接 BD,交 AC 于O,取 PE 中点G,连接 FD交CE 于 H,连接OH,则/FGCE,在 DFG中,/HEFG,则12GEFHEDHD,在底面 ABCD 中,/BCAD,所以12BOBCODAD,所以12FHBOHDOD,故/BFOH,又OH 平面 ACE,BF 平面 ACE,所以/BF平面 ACE.10 分（）由（）可知,CD 平面 PAC,所以DPC为直线 PD与平面 PAC 所成的角,在 Rt PCD中,222 2,2 5CDPDPAAD,所以2 210sin52 5CDDPCPD,所以直线 PD与平面 PAC 所成的角的正弦值为 105.14 分 19【解析】（）
13、解法一:由题意得223ab,223114ab,解得224,1ab,所以椭圆 E 的方程为2214xy.4 分 解法二:椭圆的两个交点分别为123,0,3,0FF,由椭圆的定义可得12712|422aPFPF,所以2a,21b ,所以椭圆 E 的方程为2214xy.4 分 12 分 （）解法一:由（）可知120,1,0,1AA,设 00,P xy,直线1PA:0011yyxx,令0y,得001Nxxy;直线2PA:0011yyxx,令0y,得001Mxxy;设圆G 的圆心为00001,211xxhyy,则2r 22220000000000112111411xxxxxhhyyyyy,2220000
14、1411xxOGhyy 2222222200000200000114114111xxxxxOTOGrhhyyyyy 而220014xy,所以22004 1xy,所以202204 141yOTy,所以|2OT,即线段OT 的长度为定值2.14 分 解法二:由（）可知120,1,0,1AA,设 00,P xy,直线1PA:0011yyxx,令0y,得001Nxxy;直线2PA:0011yyxx,令0y,得001Mxxy;则20002000|111xxxOMONyyy,而220014xy,所以22004 1xy,所以2020|41xOMONy,由切割线定理得2|4OTOMON 所以|2OT,即线段O
15、T 的长度为定值2.14 分 20【解析】（）由已知得 11ng xxnx,所以 111ngxnx.2 分 当2n 且 n 为偶数时,1n 是奇数,由 0gx得0 x;由 0gx得0 x.所以 g x 的递减区间为,0,递增区间为0,极小值为 00g.5 分 当2n 且 n 为奇数时,1n 是偶数,由 0gx得2x 或0 x;由 0gx得 20 x.所以 g x 的递减区间为2,0,递增区间为,2 和0,此时 g x 的极大值为 222gn,极小值为 00g.8 分 （）由 0101nnnnfxfkfxfk得10101111 111nnnnnxknxk,所以 10111111nnnkxnk,0
16、1 11111nnnkkxnk10 分 显然分母 1110nnk,设分子为 1 110nh knkkk 则 11111110nnnh knknknkn nkk 所以 h k 是0,上的增函数,所以 00h kh,故00 x 12 分 又 10111111nnk nkxknk,由（）知,11ng xxnx 是0,上的增函数,故当0 x 时,00g xg,即11nxnx,所以1111nk nk 所以00 xk,从而0 xk.综上,可知00 xk.14 分 21【解析】（）设点,P x y,则221xy,所以22222|222nnnnaaPAxyay,因为 yR,所以当2nay 时,|nPA取得最小
17、值nd,且222nnad,又12nnad,所以12nnad,即112nnda 将112nnda 代入222nnad得212122nnaa 两边平方得2212nnaa,又00a,212a 故数列 2na是首项212a,公差为2 的等差数列,所以22nan,因为12nnad 0,所以2nan.6 分 （）因为222122120nnnn ,所以2221221nnnn 所以 2221221nnnn,所以2221212nnnnaaaa 所以2122122nnnnaaaa,所以321212434562122,nnnnaaaaaaaaaaaa 以上 n 个不等式相加得321212435214622nnnnaaaaaaaaaaaa.10分 （）因为33112 2kak,当2k 时,321111111111kkk kkkkkk,因为 12211211kkkkkk ,所以 1111111111111kkkkkkkkk 所以311111kkk,32211111111111212nnkkkkkkk 所以33121111111121422 22 22 22 22nnikiak.故存在常数1242M,对*n N,都有不等式:33312111nMaaa成立.14 分
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