1、2两角和与差的三角函数21两角差的余弦函数22两角和与差的正弦、余弦函数知识点一两角和与差的余弦公式、正弦公式 填一填答一答1如何正确理解两角和与差的正弦公式、余弦公式？提示：(1)公式中的，均为任意角(2)公式对分配律不成立(3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例如，sin(2)sin2coscos2sin0cos1sinsin.(4)使用公式时不仅要会正用，还要能够逆用如，化简sin()coscos()sin，不要将sin()和cos()展开，而应采用整体思想，进行如下变形：sin()coscos()sinsin()sin，这也体现了数学中的整体思想(5)两角和与差的余弦公
2、式右边的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式右边的两部分为异名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相同知识点二辅助角公式 填一填通常把asinxbcosx(a，b不同时为0)写成asinxbcosxsin(x)的形式，我们把这种形式称为辅助角公式，其中cos，sin，角叫作辅助角答一答2如何化简asinbcos(ab0)?提示：逆用两角和与差的正弦公式，凑出sincoscossin的形式来化简asinbcos(sincos)()2()21，可设cos，sin，则tan(称为辅助角)asinbcos(sincoscossin)sin()特别是当1，时
3、，是特殊角例如，3sin3cos(sincos)6(sincos)6(sincoscossin)6sin()1对公式C的两点说明(1)公式的结构特点公式的左边是和(差)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的差(和)式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式(2)公式的适用条件公式中的，不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”如cos()中的“”相当于公式中的角“”，“”相当于公式中的角“”因此对公式的理解要注意结构形式，而不要局限于具体的角 3注意公式的结构特征和符号规律对于公式C，C，可记为“同名相乘，符号反”对于公式S，S，可记为“异名相乘，符号同”类型一利用公式求值 【例1】求值：(1
4、)sin43cos13sin13sin47；(2)cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)；(3)cos15sin15.【思路探究】(1)式子中出现了3个角，但注意到43与47可以用诱导公式转换从而可以选择公式求值(2)式子中出现的角是“整体”的形式，要把“35”看作角“”，把“25”看作角“”，再逆用两角差的余弦公式(3)先把特殊值化成角的三角函数，再逆用公式化简求值【解】(1)解法一：sin43cos13sin13sin47sin43cos13sin13cos43sin(4313)sin30.解法二：sin43cos13sin13sin47cos47cos13sin13si
5、n47cos(4713)cos60.(2)原式cos(3525)cos(60)cos60.(3)解法一：原式cos45cos15sin45sin15cos(4515)cos30.解法二：原式sin45cos15cos45sin15sin(4515)sin60.规律方法 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分拆角、凑角转化为两角和与差的正弦、余弦公式，同时活用、逆用公式，大角要利用诱导公式化为小角(1)计算：sin(36)cos(54)cos(144)sin(126)1.(2)计算：.解析：(1)原式sin(36)sin(36)cos(36)cos(36)cos(36)(36)cos01.
6、(2)原式cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.类型二给值求值问题 【例2】已知sin，(，)，cos，为第三象限角，求：(1)cos()及cos()的值；(2)sin()的值【思路探究】由sin及cos的值及角的范围很容易计算出cos及sin，直接代入两角和与差的余弦公式，即可计算出cos()与cos()的值代入两角和的正弦公式，即可计算出sin()的值【解】(1)由sin，(，)，得cos，又由cos，为第三象限角得sin，cos()coscossinsin()()()，cos()coscossinsin()()()，(2)sin()sincoscossin
7、()()().规律方法 已知，角的某种三角函数，求的余弦与正弦，先要根据平方关系求出，的另一种三角函数求解过程中注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的余弦公式或正弦公式中，求出和角或差角的余弦 (1)已知cos，(，2)，则cos().解析：因为cos，(，2)，所以sin.所以cos()coscossinsin().(2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos的值解：因为，为锐角，所以0.又因为cos()，所以0，所以02.又因为cos(2)，所以02，所以sin()，sin(2)，所以coscos(2)()cos(2)cos()s
8、in(2)sin().类型三给值求角问题 【例3】(1)已知cos，cos()，且0，那么()A.B. C.D.(2)若sinsinsin0，coscoscos0，且02，则()A.或 B.C. D以上答案都不对【思路探究】解决求角问题的关键是根据题目所给条件，恰当地选择计算所求角的某一个三角函数值本题第(1)问用到的一个技巧是角的变换即().【解析】(1)由0，得0，又cos，cos()cos()，sin，sin()sin()，则coscos()cos()cossin()sin()，.(2)coscoscossinsinsin0，coscoscos，sinsinsin.sin2cos21，(
9、coscos)2(sinsin)21，整理得22(coscossinsin)1，即coscossinsin，cos().02，02，或.同理可得cos()，解得或.cos()，解得或.02，.故的值为.【答案】(1)C(2)B规律方法 解决给值求角问题的方法解决给值求角问题要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用三角函数在此范围内的单调性求出所求角在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是(0，)，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为(，)
10、，选正弦函数较好已知锐角，满足sin，cos，求的值解：因为，均为锐角，且sin，cos，所以cos，sin，所以cos()coscossinsin.因为0，0，所以0，所以.类型四证明问题 【例4】求证：1.【思路探究】本题采用了两种方法，分别从两个方向进行了证明，方法一是正用两角的和、差公式，方法二是逆用两角的和、差公式【证明】方法1：左边1右边，原式成立方法2：右边1左边，原式成立规律方法 证明三角恒等式要注意观察等式两边的特点，主要是从三角函数的名称、表达形式上去观察，选择不同的证明方法一般地，三角恒等式的证明可采取三种思维方法：从左向右证，从右向左证，左右同时化到同一个式子已知tan
11、()2tan，求证：3sinsin(2)证明：由题意，得，sin()cos2cos()sin.又sin(2)sin()sin()coscos()sin3cos()sin，3sin3sin()3sin()cos3cos()sin3cos()sin，3sinsin(2)类型五 【例5】若函数f(x)(1tanx)cosx,0x.(1)把f(x)化成Asin(x)的形式；(2)判断f(x)在0，)上的单调性，并求f(x)的最大值【思路探究】本题关键是对f(x)进行合理化简，然后利用三角函数的相关性质，求单调性及最值【解】(1)f(x)(1tanx)cosx(1 )cosxcosxsinx2(cosx
12、sinx)2sin(x)(2)0x，f(x)在0，上是单调递增的，在(，)上是单调递减的当x时，f(x)有最大值2.规律方法 辅助角公式化简的步骤及应用(1)“提”常数即提取，使asinxbcosx变成(sinxcosx)(2)“定”值令cos，sin，确定辅助角的值(3)用处多利用辅助角公式我们可以进一步研究这类函数的周期、值域、单调性、对称性等很多问题(1)函数f(x)sinxcosx的最小正周期是2；(2)函数f(x)sinxcosx的最小值是.解析：(1)f(x)sin(x)，最小正周期是2.(2)f(x)sin(x)，最小值是.易错警示因忽略隐含条件致误【例6】已知ABC中，sin(
13、AB)，cosB，则cosA_.【错解】【正解】在ABC中，因为cos B0，所以B为钝角，则sin B，所以AB(，)，由sin(AB)，得cos(AB)，所以cos Acos(AB)Bcos(AB)cosBsin(AB)sinB().【错解分析】没有从处挖掘出B为钝角，从而得出cos(AB)，导致cosA求解错误【答案】【防范措施】1.注意题设信息的挖掘合理挖掘题设隐含信息，可以有效减少问题求解的错误，提高解题的准确性，如本例在ABC中由“cosB”可以得出B为钝角2注意思维的严密性数学是严谨的，每一个条件的存在都有其特殊的作用，数学问题的解决，不仅要遵从数学规律，而且也要合乎逻辑，如本例
14、在已知“sin(AB)”时，不可盲目下结论“cos(AB)”在ABC中，sinA，cosB，则cosC.解析：cosB，B为钝角A为锐角，sinB，cosA，cosCcos(AB)cos(AB)cosAcosBsinAsinB().一、选择题1sin，是锐角，则cos()(A)A. B.C. D.解析：是锐角，且sin，.coscos.cos()coscossinsin.2计算sin59cos29cos59sin29的结果等于(C)A. B.C. D.解析：原式sin(5929)sin30.3若tan2tan，则(C)A1 B2C3 D4解析：该题考查了诱导公式的灵活运用以及和差化积公式，难度适中3.二、填空题4化简cos(55)cos(5)sin(55)sin(5).解析：原式cos(55)(5)cos(60).5若cos，(0，)，则cos().解析：由cos，(0，)，得sin.所以cos()coscossinsin.三、解答题6化简：.解：原式.
