1、4空间图形的基本关系与公理41空间图形基本关系的认识42空间图形的公理知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示填一填答一答1点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表示？提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合，所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致知识点二 空间图形的公理 填一填 答一答2你对公理2及课本思考交流中的三个问题是怎样理解的？提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平面重合的依据“确定”和“有且只有一个”是同义词“
2、有”说明存在性，“只有一个”说明唯一性数学中的“只有一个”并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有且只有一个”符合某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形是完全确定的知识点三 定理 填一填空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补这个定理实质上是由如下两个结论合成的：(1)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等(2)若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补知识点四 异面直线所成的角 填一填知识点五 空间四边形 填一填四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四
3、边形答一答3如何理解异面直线？提示：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线例如，如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面4已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？提示：都共面，如图所示，abA，过b上任意一点B作ca，则a、c可确定一个平面，因为Aa，所以A.又因为Bc，所以B，所以AB，即b.所以a、b、c共面同理在a上任取一点作b的平行
4、线，都与a、b共面，所以这些平行线都共面公理1、公理2、公理3的意义和作用1公理1说明了平面与曲面的本质区别通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法2公理2是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法3公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.类型一 公理、定理的考查 【例1】判断下列命题是否正确：(1)空间两两相交的三条直
5、线确定一个平面；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)空间任意一点和一条直线确定一个平面；(4)一组对边平行的四边形一定是平面图形【思路探究】考查确定平面的条件【解】命题(1)是错误的如果三线共点，那么此三线可能不共面，仔细观察教室的墙角处，这是一个很好的反例模型；命题(2)是错误的四边相等并不能保证此四边形是平面图形，也就不能保证它是菱形；命题(3)是错误的若点在直线上，那么经过此点和这条直线的平面有无数多个；命题(4)是正确的因为对边平行，可以确定一个平面，又四个顶点都在平行的对边上，故都在平面内，所以另两条边也在平面内，故此四边形是平面图形规律方法 应准确掌握确定平面的条件下列命题中正确的
6、是(D)A空间三点可以确定一个平面B若两个平面、有一个公共点A，则AC若A、B、C、D四点既在平面内，又在平面内，则平面，重合D三角形一定是平面图形解析：A中：若三点在一条直线上，则三点所在的平面不唯一；B中：两个平面不可能只有一个公共点，两平面若不重合，则要么相交(此时有一条公共直线)，要么平行；C中：A、B、C、D四点共线时，平面、不一定重合；D中：不共线三点才能构成三角形，三角形为平面图形故选D.类型二 多线共面问题 【例2】求证：两两相交且不共点的四条直线共面【思路探究】可尝试先证明其中两条直线确定一个平面，然后证明其他直线也在此平面内【证明】没有三线共点情况，如图(1)所示，设adM
7、，bdN，cdP，abQ，acR，bcS.adM，a，d可确定一个平面.Nd，Qa，N，Q，NQ，即b.同理c，a，b，c，d共面有三线共点的情况，如图(2)所示，设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且Ka，Ka，K和a确定一个平面，设为.Na，a，N.NK，即b.同理c，d，a，b，c，d共面由知，a，b，c，d共面规律方法 1.证明线共面问题往往先利用条件确定一个平面再证明其余线都在此平面内，也可以证明两个平面重合2公理2是确定平面的依据，公理1是确定线在已确定的面上的依据一条直线与三条平行直线都相交求证：这四条直线共面已知：如图所示，abc，laA，lbB，lcC.求证：直
8、线a，b，c，l共面证明：因为ab，所以a和b确定一个平面.因为laA，lbB，所以A，B.故l.又ac，所以a和c确定一个平面.同理l.即l和a既在内又在内，且l与a相交，故，重合，即直线a，b，c，l共面类型三 线共点和点共线问题 【例3】如图，ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ.求证：P，Q，R三点共线【思路探究】方法一，证明P，Q，R三点同时在平面ABC和平面内，利用公理3即可得出结论方法二，利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APRPR，再证明点Q在直线PR上即可【证明】方法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知点P在平面ABC与平面的交线上
9、同理可证，点Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线方法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.Q直线BC，Q平面APR.又Q，Q直线PR，P，Q，R三点共线规律方法 点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上常用以下两种方法：方法一，首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；方法二，选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上在三棱锥SABC的棱SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EFGHP，求证：E
10、F，GH，AC三条直线交于一点证明：如图，ESA，SA平面SAC，FSC，SC平面SAC，E平面SAC，F平面SAC.EF平面SAC.GAB，AB平面ABC，HBC，BC平面ABC，G平面ABC，H平面ABC，GH平面ABC.又EFGHP，P平面SAC，P平面ABC.平面SAC平面ABCAC，PAC，即直线EF，GH，AC交于一点P.类型四 公理4与定理的应用 【例4】已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等【思路探究】由平面几何知识得到线线平行，用公理4进行转化【证明】如图所示由已知得EH是
11、ABD的中位线，所以EHBD，EHBD.在BCD中，所以FGBD，FGBD.根据公理4，知EHFG，又FGEH，所以四边形EFGH有一组对边平行但不相等规律方法 1.证明两条直线平行的方法(1)公理4：即找到第三条直线，证明这两条直线都与之平行，这是一种常用方法，要充分用好平面几何知识，如有中点时用好中位线性质等；(2)平行直线的定义：证明在同一平面内，这两条直线无公共点2运用“等角定理”判定两个角是相等还是互补的方法(1)判定两个角的方向是否相同，若相同则必相等，若相反则必互补；(2)判定这两个角是否均为锐角或均为钝角，若均是则相等，若不均是则互补如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中
12、，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点求证：EA1FE1CF1.证明：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BFA1M.又BFA1M，四边形A1FBM为平行四边形A1FBM.而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.而C1B1綊BC，F1M綊BC，四边形F1MBC为平行四边形BMF1C.又BMA1F，A1FCF1.同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1ECE1.EA1F与E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，EA1FE1CF1.类型五 异面直线所成的角 【例5】如右图所示，在等腰直
13、角三角形ABC中，BAC90，BC，DAAC于点A，DAAB于点A，若DA1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值【思路探究】根据异面直线所成角的定义，可选择适当的点，分别引BE与DC的平行线本题中BE可不动，过点E作CD的平行线EF，这样BE与CD所成的角即为BEF与其补角中的锐角，在EFB中求解【解】取AC的中点F，连接EF和BF.在ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，EFCD，BEF或其补角中的锐角即为异面直线BE和CD所成的角ABC为等腰直角三角形，且BC，在RtABE中，AB1，AE，BE.在RtAEF中，AF，AE，EF.在RtABF中，AB1，AF，BF.EB
14、F为等腰三角形在EBF中，cosFEB.故异面直线BE与CD所成角的余弦值为.规律方法 解决异面直线所成角的问题，通常将空间角转化为平面角，在三角形中求解如图，已知P为ABC所在平面外的一点，PCAB，PCAB2，E、F分别为PA和BC的中点(1)求证：EF与PC是异面直线；(2)求EF与PC所成的角解：(1)证明：若EF与PC不是异面直线，则存在平面使得E，F，P，C，从而直线PE与CF都在平面内，A，B，故点A，B，C，P都在内，与P在平面ABC外矛盾，故EF与PC是异面直线(2)如图，取AC的中点G，连接EG、FG，则EGPC，FGAB，由PCAB，得EGFG，且EGFG1，EF与PC所
15、成的角为45.类型六 交线的作法 【例6】如图所示 ，E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线【解】设法找出两个平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线如图所示 ，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为MFD1，MDA，FD1平面BED1F，AD平面ABCD，所以平面BED1F平面ABCDM，又平面BED1F平面ABCDB.所以连接MB，则MB平面BED1F平面ABCD.即直线MB为所求两平面的交线规律方法 求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点本题所求两
16、平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，利用公理1即可推出该点为两平面的公共点，此两点确定的直线即为所求如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，F，G分别是CC1、BC两边的中点，画出平面D1FG与平面ABCD的交线解：如图，连接AD1，AG，BC1，则AG是平面D1FG与平面ABCD的交线证明如下：在长方体ABCDA1B1C1D1中，F，G分别是CC1，BC两边的中点，FGBC1.又BC1AD1，FGAD1，A，G，F，D1四点共面于平面D1FG，AG平面ABCD，AG是平面D1FG与平面ABCD的交线多维探究系列三个平面划分空间问题
17、讨论【例7】三个两两相交的平面可将空间分成几部分？请画出它们的直观图【思路分析】设三个两两相交的平面分别为，由于它们相交的情况不同，可分三种情况讨论：(1)平面，两两相交于同一条直线；(2)平面，两两相交的三条直线交于一点；(3)平面，两两相交的三条交线平行【精解详析】(1)当平面，平面，平面两两相交，且三条交线重合(即l，l且l)时，将空间分成六部分，其图形如下图所示(2)当平面，平面，平面两两相交且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成八部分，其图形如下图所示(3)当平面，平面，平面两两相交且三条交线平行时，将空间分成七部分，其图形如下图所示【解后反思】首先确定两个平面在空间中的位置关系，
18、再让第三个平面以不同形式介入，以此为分类依据即可解决问题长方体的各个面延伸后能把空间分成多少部分？解：可想象成分成上、中、下三部分，每部分分成9部分，所以共3927部分一、选择题1下列说法中正确的个数为(C)梯形一定是平面图形；若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；圆心和圆上两点可确定一个平面；三条平行线最多可确定三个平面A1B2C3 D4解析：对于命题，当圆心与圆上两点共线时，不能确定一个平面2如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb，Ml，Nl，则(A)Al BlClM DlN解析：Ma，a，M.Nb，b，N.又Ml，Nl，l.3空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是(D)A1 B2C3 D1或3解析：若三条直线两两相交共有三个交点，则确定1个平面；若三条直线两两相交且交于同一点时，可能确定3个平面二、填空题4平面平面l，点A，B，点C平面且Cl，ABlR.设过A，B，C三点的平面为平面，则CR.解析：根据题意画出图形如图所示因为点C，且点C，所以C.因为点RAB，所以点R.又R，所以R，从而CR.三、解答题5已知直线ab，直线l与a，b都相交求证：直线a，b，l共面证明：ab，直线a，b确定一个平面，记为，如图设alA，blB，则Aa，Bb，A，B.l.直线a，b，l共面
