1、3弧度制知识点一 度量角的单位制及弧度数计算 填一填1度量角的单位制(1)角度制规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制(2)弧度制在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位符号是rad，读作弧度这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制2弧度数的计算 答一答1“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？提示：不是.1弧度是指角的大小2“2 rad”的角终边在第几象限？提示：2 rad rad，且2 rad rad，故2 rad的角终边在第二象限知识点二 角度与弧度互化及扇形面积 填一填3角度与弧度的互化4扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为
2、l，为其圆心角，则 答一答3终边落在x轴负半轴上的角可以表示为k360(kZ)这样表示对吗？提示：不对角度制和弧度制都可以用来表示角，但表示角时不可混用，故可以表示为k360180(kZ)或2k(kZ)430的角化为弧度是多少？120是30的几倍？其弧度数是多少？提示：30rad,120是30的4倍，其弧度数为4rad1对弧度制概念的三点说明(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示(3)表示角时就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大
3、小一样， rad的角表示：长度等于半径的倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与比较大小时，有时需要把化为小数2对弧度数计算公式的说明我们常用来求解圆中圆心角所对的弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|.3角度制与弧度制换算时应注意的四个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度()为单位表示角的大小时，度()不能省略不写(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度(3)有些角的弧度数是的整数倍时，如无特别要求，
4、不必把化成小数(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆4角度制与弧度制换算的要点类型一 弧度制与角度制的互化 【例1】(1)18_rad；(2)6730_rad；(3) rad_度；(4)2 rad_度【思路探究】直接运用角度和弧度的换算公式转换即可【解析】(1)1818(rad)(2)673067.567.5(rad)(3) rad54.(4)2 rad257.3114.6.【答案】(1)(2)(3)54(4)114.6规律方法 在角度与弧度相互转化时，应抓住关系式：(1)度数弧度数；(2)弧度数度数同时，我们要熟记一些特殊角的弧度数(1
5、)把1 200化成弧度；(2)把化成度解析：(1)1 2001 200.(2)()75.类型二 弧度制与终边相同的角的问题 【例2】把下列角化成2k(02，kZ)的形式，并指出它是第几象限角：(1)；(2)2 010.【思路探究】【解】(1)18，而是第一象限角，所以是第一象限角(2)2 010536021010，而是第三象限角，所以2 010是第三象限角规律方法 在进行“弧度”与“角度”的互化时，若无特别要求，切不可进行近似计算，也不必将化为小数注意角度制和弧度制不得混用，如2k60，kZ，k360，kZ都是不正确的写法(1)150的弧度数是(A)A BC D(2)弧度化为角度是(C)A27
6、8 B280C288 D318解析：(1)1 rad，150150.(2)1 rad，288.类型三 弧长与扇形面积公式的应用 【例3】已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？【思路探究】先用R表示半径，再依据SlR建立扇形面积S与半径R之间的函数关系，利用二次函数求最大值【解】设扇形的半径是R，弧长是l，由已知条件可知：l2R20，即l202R.由0l2R，得0202R2R.R10.扇形的面积为SlR(202R)RR210R(R5)225(R10)，当R5时，S最大，此时l10，2.规律方法 当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值；其求法是把面积S转化为关于R的二次函数
7、，但要注明R的取值范围特别注意一个扇形的弧长必须满足0l2R.本题若改为扇形面积为25cm2，也可以求扇形周长的最小值(1)已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2 rad，则扇形的面积为(D)A2 B3C6 D9(2)设扇形的周长为8 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(B)A1 B2C3 D4(3)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么，这个圆心角所对的弧长是(C)A2 Bsin 2C D2sin 1解析：(1)S扇lR，R3，S扇639.选D(2)设半径为R，弧长为l，则2Rl8，lR4，由解得R2，l4.2.选B(3)如图，设ACB2，AB2，过点C作COAB于点O，则由题知
8、1，OA1，sin，R，又2，l2R2.故选C类型四 综合应用 【例4】如图，已知一长为 cm，宽为1 cm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木板底面与桌面成30的角，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积【思路探究】解题关键是分析出点A运动产生的轨迹【解】所在的圆半径是2cm，圆心角为；所在圆的半径是1cm，圆心角是；所在圆的半径是cm，圆心角是，所以点A走过的路程是3段圆弧之和，即21(cm)3段弧所在扇形的总面积是2(cm2)规律方法 弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是Slr|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，是扇形
9、的圆心角)(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解在一般的时钟上，自零时开始到分钟与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?解：解法一：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x rad，则分针转过了(2x)rad，而时针走1 rad相当于经过hmin，分针走1 rad相当于经过min，故有x(2x)，得x，到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2(rad)解法二：设再一次重合时，分针转过弧度数为，则12(2)
10、(再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得，到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是(rad)易错警示对终边相同的区间角理解不到位致误【例5】已知2k2k，2k2k，其中kZ，求的范围【错解】由已知两式左右分别相加，可得4k4k，kZ.【正解】2k12k1，k1Z，2k22k2，k2Z，2(k1k2)2(k1k2).又k1，k2Z，存在整数k，使得kk1k2，2k2k，kZ.【错解分析】错解错误的原因是对终边相同的区间角理解不到位，误以为两式中的k表示相同的整数由于两式所表示的角是k分别取整数值时所对应的无数个区间角的并集，故两式中的k不一定相等，可用k1，
11、k2替换加以区别，然后利用不等式的性质进行求解【防范措施】含有k的角的说明关于含有k的角的集合求交集、并集时，每个集合都有一定的周期规律，认清k的系数确定周期，不要漏角或添角关于含有k的角，求组合角时不能简单相加减已知1 690.(1)把写成2k(kZ)，0,2)的形式；(2)求，使与的终边相同，且(4，2)解：(1)由于的弧度数为1 690，又8，42(k4，)(2)由42k2(kZ)，得k2，4.一、选择题1将分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是(A)A BC D解析：拨慢分针是逆时针方向2下列命题中，错误命题是(D)A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B一度的角是周角的，
12、一弧度的角是周角的C根据弧度的定义，180一定等于弧度D不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误命题其他A、B、C均为正确命题应选D3在半径为2 cm的圆中，若有条弧长为 cm，则它所对的圆心角为(A)A BC D解析：设圆心角为，则.二、填空题4.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB，则劣弧的长为.解析：连接AO，OB，因为ACB，所以AOB，又OAOB，所以AOB为等边三角形，故圆O的半径rAB4，劣弧的长为r.5在与2 010角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是rad解析：与2 010角终边相同的角为k3602 010；令k6，得150，化成弧度即为所求三、解答题6用弧度制表示顶点在原点，终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界，如图所示)解析：(1)如题图(1)中以OB为终边的角为330，可看成为30，化为弧度，即，而7575，终边落在阴影部分的角的集合为 .(2)如题图(2)中以OB为终边的角为225，可看成是135，化为弧度，即.而135135，终边落在阴影部分的角的集合为 .
